ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi GIF version
Theorem lmodvsmmulgdi 13418
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmmulgdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5884 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
2 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (0𝐸𝐢))
32oveq1d 5892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
41, 3eqeq12d 2192 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
54imbi2d 230 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
6 oveq1 5884 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
7 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑦𝐸𝐢))
87oveq1d 5892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))
96, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
109imbi2d 230 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
11 oveq1 5884 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
12 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
1312oveq1d 5892 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
1514imbi2d 230 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
16 oveq1 5884 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
17 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑁𝐸𝐢))
1817oveq1d 5892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2192 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
2019imbi2d 230 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
21 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
22 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2322adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
27 eqid 2177 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
28 eqid 2177 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 13416 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3021, 23, 29syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
31 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3231adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
3533, 27, 34mulg0 12993 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3632, 35syl 14 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3736oveq1d 5892 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 13400 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
4124, 28, 40mulg0 12993 . . . . . . 7 ((𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4239, 41syl 14 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4330, 37, 423eqtr4rd 2221 . . . . 5 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
44 lmodgrp 13389 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
4544grpmndd 12894 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
4645ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
47 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
4839adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
49 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5024, 40, 49mulgnn0p1 12999 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5251adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
53 oveq1 5884 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5421adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5525lmodring 13390 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
56 ringmnd 13194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5857ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
59 simprll 537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 13009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾)
6123adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
62 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 13407 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6533, 34, 62mulgnn0p1 12999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6658, 47, 59, 65syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6766eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
6867oveq1d 5892 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
6964, 68eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7053, 69sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7152, 70eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7271exp31 364 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
7372a2d 26 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 9369 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7574exp4c 368 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))))
76753imp21 1198 . 2 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7776impcom 125 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  β„•0cn0 9178  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  0gc0g 12710  Mndcmnd 12822  .gcmg 12988  Ringcrg 13184  LModclmod 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989  df-ring 13186  df-lmod 13384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator