Theorem lss0cl 14049

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14038	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
8	7	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
9	8	simp2d 1012	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
10		simp1 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 6	lsselg 14041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		eqid 2204	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	3, 12, 13	lmodsubid 14027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
16	13, 6	lssvsubcl 14046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
17	16	anabsan2 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
18	17	3impa 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
19	15, 18	eqeltrrd 2282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑈)
20	19	3expia 1207	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
21	20	exlimdv 1841	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
22	9, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ⊆ wss 3165  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  0_gc0g 13006  -_gcsg 13252  LModclmod 13967  LSubSpclss 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-sbg 13255  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-lmod 13969  df-lssm 14033

This theorem is referenced by:  lss0ss  14051  lssvneln0  14053  lssvscl  14055  lsssubg  14057  lssintclm  14064  lidl0cl  14163