ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lss0cl GIF version
Theorem lss0cl 13460
Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lss0cl ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lss0cl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2177 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5 eqid 2177 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lss0cl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6islssm 13450 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
87biimpa 296 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
98simp2d 1010 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
10 simp1 997 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
113, 6lsselg 13453 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
12 lss0cl.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2177 . . . . . . 7 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
143, 12, 13lmodsubid 13442 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 0 )
1510, 11, 14syl2anc 411 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 0 )
1613, 6lssvsubcl 13457 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ π‘ˆ)
1716anabsan2 584 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ π‘ˆ)
18173impa 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ π‘ˆ)
1915, 18eqeltrrd 2255 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ π‘ˆ)
20193expia 1205 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ 0 ∈ π‘ˆ))
2120exlimdv 1819 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ 0 ∈ π‘ˆ))
229, 21mpd 13 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  0gc0g 12710  -gcsg 12884  LModclmod 13382  LSubSpclss 13447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448
This theorem is referenced by:  lss0ss  13462  lssvneln0  13464  lssvscl  13467  lsssubg  13469  lssintclm  13476
  Copyright terms: Public domain W3C validator