Theorem lss0cl 14517

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14506	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
8	7	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
9	8	simp2d 1037	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
10		simp1 1024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 6	lsselg 14509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	3, 12, 13	lmodsubid 14495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
16	13, 6	lssvsubcl 14514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
17	16	anabsan2 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
18	17	3impa 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
19	15, 18	eqeltrrd 2310	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑈)
20	19	3expia 1232	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
21	20	exlimdv 1868	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
22	9, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ⊆ wss 3211  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  Scalarcsca 13293   ·_𝑠 cvsca 13294  0_gc0g 13469  -_gcsg 13715  LModclmod 14435  LSubSpclss 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437  df-lssm 14501

This theorem is referenced by:  lss0ss  14519  lssvneln0  14521  lssvscl  14523  lsssubg  14525  lssintclm  14532  lidl0cl  14631