Theorem lss0cl 14348

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14337	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
8	7	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
9	8	simp2d 1034	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
10		simp1 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 6	lsselg 14340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	3, 12, 13	lmodsubid 14326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
16	13, 6	lssvsubcl 14345	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
17	16	anabsan2 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
18	17	3impa 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
19	15, 18	eqeltrrd 2307	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑈)
20	19	3expia 1229	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
21	20	exlimdv 1865	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
22	9, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  Scalarcsca 13128   ·_𝑠 cvsca 13129  0_gc0g 13304  -_gcsg 13550  LModclmod 14266  LSubSpclss 14331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268  df-lssm 14332

This theorem is referenced by:  lss0ss  14350  lssvneln0  14352  lssvscl  14354  lsssubg  14356  lssintclm  14363  lidl0cl  14462