ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2zlemstep GIF version

Theorem rebtwn2zlemstep 9592
Description: Lemma for rebtwn2z 9594. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
rebtwn2zlemstep ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 8719 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21ad3antlr 477 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3 simpr 108 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4 simplrr 503 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5 simpllr 501 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
65zcnd 8802 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7 1cnd 7448 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8 eluzelcn 8962 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
98ad4antr 478 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
106, 7, 9addassd 7454 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
117, 9addcomd 7577 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
1211oveq2d 5629 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1310, 12eqtrd 2117 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
144, 13breqtrrd 3846 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15 breq1 3823 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16 oveq1 5620 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
1716breq2d 3832 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
1815, 17anbi12d 457 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
1918rspcev 2715 . . . . . . 7 (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
202, 3, 14, 19syl12anc 1170 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21 simpllr 501 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22 simplrl 502 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23 simpr 108 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24 breq1 3823 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴𝑚 < 𝐴))
25 oveq1 5620 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
2625breq2d 3832 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
2724, 26anbi12d 457 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
2827rspcev 2715 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
2921, 22, 23, 28syl12anc 1170 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30 1red 7447 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31 eluzelre 8961 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3231ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 simplr 497 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433zred 8801 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35 1z 8709 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
36 eluzp1l 8975 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
3735, 36mpan 415 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38 df-2 8416 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3938fveq2i 5271 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
4037, 39eleq2s 2179 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
4140ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
4230, 32, 34, 41ltadd2dd 7844 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
4334, 30readdcld 7461 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
4434, 32readdcld 7461 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45 simpllr 501 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 axltwlin 7498 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1172 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
4842, 47mpd 13 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4920, 29, 48mpjaodan 745 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5049ex 113 . . . 4 (((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5150rexlimdva 2485 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52513impia 1138 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53 breq1 3823 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴𝑗 < 𝐴))
54 oveq1 5620 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5554breq2d 3832 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5653, 55anbi12d 457 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5756cbvrexv 2587 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5852, 57sylibr 132 1 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3820  cfv 4981  (class class class)co 5613  cc 7292  cr 7293  1c1 7295   + caddc 7297   < clt 7466  2c2 8407  cz 8683  cuz 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952
This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  9593
  Copyright terms: Public domain W3C validator