Theorem rebtwn2zlemstep 10687

Description: Lemma for rebtwn2z 10689. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemstep	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad3antlr 497	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4		simplrr 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7		1cnd 8342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8		eluzelcn 9933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	addassd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
11	7, 9	addcomd 8477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
12	11	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
13	10, 12	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
14	4, 13	breqtrrd 4158	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15		breq1 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
17	16	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
18	15, 17	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
19	18	rspcev 2929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
20	2, 3, 14, 19	syl12anc 1276	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21		simpllr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24		breq1 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴 ↔ 𝑚 < 𝐴))
25		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
26	25	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
27	24, 26	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
28	27	rspcev 2929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29	21, 22, 23, 28	syl12anc 1276	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30		1red 8341	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31		eluzelre 9932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	zred 9768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35		1z 9670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
36		eluzp1l 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
37	35, 36	mpan 428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38		df-2 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
39	38	fveq2i 5698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
40	37, 39	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾)
41	40	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
42	30, 32, 34, 41	ltadd2dd 8750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
43	34, 30	readdcld 8355	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
44	34, 32	readdcld 8355	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45		simpllr 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		axltwlin 8393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
48	42, 47	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	20, 29, 48	mpjaodan 810	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2668	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	3impia 1231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 4133	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑗 < 𝐴))
54		oveq1 6092	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 4142	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2787	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360  2c2 9355  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  rebtwn2zlemshrink  10688