Theorem rebtwn2zlemstep 10145

Description: Lemma for rebtwn2z 10147. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemstep	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad3antlr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4		simplrr 526	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7		1cnd 7888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8		eluzelcn 9444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	addassd 7894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
11	7, 9	addcomd 8020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
12	11	oveq2d 5837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
13	10, 12	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
14	4, 13	breqtrrd 3992	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15		breq1 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16		oveq1 5828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
17	16	breq2d 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
18	15, 17	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
19	18	rspcev 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
20	2, 3, 14, 19	syl12anc 1218	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21		simpllr 524	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		simplrl 525	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24		breq1 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴 ↔ 𝑚 < 𝐴))
25		oveq1 5828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
26	25	breq2d 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
27	24, 26	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
28	27	rspcev 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29	21, 22, 23, 28	syl12anc 1218	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30		1red 7887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31		eluzelre 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	zred 9280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35		1z 9187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
36		eluzp1l 9457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
37	35, 36	mpan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38		df-2 8886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
39	38	fveq2i 5470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
40	37, 39	eleq2s 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾)
41	40	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
42	30, 32, 34, 41	ltadd2dd 8291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
43	34, 30	readdcld 7901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
44	34, 32	readdcld 7901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45		simpllr 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		axltwlin 7939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1220	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
48	42, 47	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	20, 29, 48	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	3impia 1182	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 3968	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑗 < 𝐴))
54		oveq1 5828	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 3977	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 465	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2681	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   class class class wbr 3965  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  ℝcr 7725  1c1 7727   + caddc 7729   < clt 7906  2c2 8878  ℤcz 9161  ℤ_≥cuz 9433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434

This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  10146