Theorem rebtwn2zlemstep 10636

Description: Lemma for rebtwn2z 10638. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemstep	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7		1cnd 8306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8		eluzelcn 9883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	addassd 8312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
11	7, 9	addcomd 8440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
12	11	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
13	10, 12	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
14	4, 13	breqtrrd 4142	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15		breq1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
17	16	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
18	15, 17	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
19	18	rspcev 2923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
20	2, 3, 14, 19	syl12anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24		breq1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴 ↔ 𝑚 < 𝐴))
25		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
26	25	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
28	27	rspcev 2923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29	21, 22, 23, 28	syl12anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30		1red 8305	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31		eluzelre 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	zred 9718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35		1z 9620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
36		eluzp1l 9897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
37	35, 36	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38		df-2 9313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
39	38	fveq2i 5678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
40	37, 39	eleq2s 2329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾)
41	40	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
42	30, 32, 34, 41	ltadd2dd 8713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
43	34, 30	readdcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
44	34, 32	readdcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45		simpllr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		axltwlin 8357	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
48	42, 47	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	20, 29, 48	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2662	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	3impia 1227	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 4117	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑗 < 𝐴))
54		oveq1 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 4126	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2781	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324  2c2 9305  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  10637