Theorem rebtwn2zlemstep 10023

Description: Lemma for rebtwn2z 10025. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemstep	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad3antlr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4		simplrr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5		simpllr 523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7		1cnd 7775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8		eluzelcn 9330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	addassd 7781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
11	7, 9	addcomd 7906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
12	11	oveq2d 5783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
13	10, 12	eqtrd 2170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
14	4, 13	breqtrrd 3951	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15		breq1 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16		oveq1 5774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
17	16	breq2d 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
18	15, 17	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
19	18	rspcev 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
20	2, 3, 14, 19	syl12anc 1214	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21		simpllr 523	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		simplrl 524	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24		breq1 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴 ↔ 𝑚 < 𝐴))
25		oveq1 5774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
26	25	breq2d 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
27	24, 26	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
28	27	rspcev 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29	21, 22, 23, 28	syl12anc 1214	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30		1red 7774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31		eluzelre 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		simplr 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	zred 9166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35		1z 9073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
36		eluzp1l 9343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
37	35, 36	mpan 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38		df-2 8772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
39	38	fveq2i 5417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
40	37, 39	eleq2s 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾)
41	40	ad3antrrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
42	30, 32, 34, 41	ltadd2dd 8177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
43	34, 30	readdcld 7788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
44	34, 32	readdcld 7788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45		simpllr 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		axltwlin 7825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
48	42, 47	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	20, 29, 48	mpjaodan 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2547	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	3impia 1178	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 3927	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑗 < 𝐴))
54		oveq1 5774	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 3936	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 464	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2653	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793  2c2 8764  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  10024