Theorem rebtwn2zlemstep 10417

Description: Lemma for rebtwn2z 10419. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemstep	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7		1cnd 8108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8		eluzelcn 9679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
9	8	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	addassd 8115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
11	7, 9	addcomd 8243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
12	11	oveq2d 5973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
13	10, 12	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
14	4, 13	breqtrrd 4079	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15		breq1 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
17	16	breq2d 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
18	15, 17	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
19	18	rspcev 2881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
20	2, 3, 14, 19	syl12anc 1248	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24		breq1 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴 ↔ 𝑚 < 𝐴))
25		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
26	25	breq2d 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
28	27	rspcev 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29	21, 22, 23, 28	syl12anc 1248	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30		1red 8107	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31		eluzelre 9678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	zred 9515	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35		1z 9418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
36		eluzp1l 9693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
37	35, 36	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38		df-2 9115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
39	38	fveq2i 5592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
40	37, 39	eleq2s 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐾)
41	40	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
42	30, 32, 34, 41	ltadd2dd 8515	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
43	34, 30	readdcld 8122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
44	34, 32	readdcld 8122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		axltwlin 8160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
48	42, 47	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	20, 29, 48	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	3impia 1203	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 4054	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑗 < 𝐴))
54		oveq1 5964	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 4063	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2740	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  1c1 7946   + caddc 7948   < clt 8127  2c2 9107  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  10418