ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcau GIF version

Theorem cvg1nlemcau 11007
Description: Lemma for cvg1n 11009. By selecting spaced out terms for the modified sequence 𝐺, the terms are within 1 / 𝑛 (without the constant 𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start (𝜑𝐶 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑘   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
32ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
54ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℕ)
61, 5nnmulcld 8982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℕ)
73, 6ffvelcdmd 5665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8 oveq1 5895 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑛 · 𝑍))
98fveq2d 5531 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
119, 10fvmptg 5605 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
121, 7, 11syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
1312, 7eqeltrd 2264 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
14 eluznn 9614 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1514adantll 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615, 5nnmulcld 8982 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ ℕ)
173, 16ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) ∈ ℝ)
18 oveq1 5895 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
1918fveq2d 5531 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2019, 10fvmptg 5605 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2115, 17, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2221, 17eqeltrd 2264 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2423rpred 9710 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2524ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2625, 6nndivred 8983 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 8001 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∈ ℝ)
281nnrecred 8980 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2922, 28readdcld 8001 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
30 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
3130oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
3231breq2d 4027 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
3330breq1d 4025 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
3432, 33anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → (((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
35 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (ℤ𝑎) = (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)))
36 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
37 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑎) = (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))
3837oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
3936, 38breq12d 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
4036, 37oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
4140breq2d 4027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
4239, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
4335, 42raleqbidv 2695 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍))((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
44 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
45 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑏 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑏))
4645oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)))
4746breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛))))
4845breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4947, 48anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑏 → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
5049cbvralv 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
5150ralbii 2493 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
52 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑎 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑎))
53 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
54 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑎 → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / 𝑎))
5554oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)))
5653, 55breq12d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎))))
5753, 54oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))
5857breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
5956, 58anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑎 → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))))
6052, 59raleqbidv 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))))
6160cbvralv 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6251, 61bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6344, 62sylib 122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6463ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6543, 64, 6rspcdva 2858 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑏 ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍))((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
66 eluzle 9554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘)
6766adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑘)
681nnred 8946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
6915nnred 8946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℝ)
705nnrpd 9708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7168, 69, 70lemul1d 9754 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7267, 71mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍))
736nnzd 9388 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℤ)
7416nnzd 9388 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ ℤ)
75 eluz 9555 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · 𝑍) ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑍) ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7673, 74, 75syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7772, 76mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)))
7834, 65, 77rspcdva 2858 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
7921oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
8079breq2d 4027 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8121breq1d 4025 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8280, 81anbi12d 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
8378, 82mpbird 167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8412breq1d 4025 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8512oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
8685breq2d 4027 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8784, 86anbi12d 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
8883, 87mpbird 167 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8988simpld 112 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
905nnred 8946 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℝ)
911nnrpd 9708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
92 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝑍)
9392ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 < 𝑍)
9425, 90, 91, 93ltmul1dd 9766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛))
956nncnd 8947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℂ)
9695mulid2d 7990 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 · (𝑛 · 𝑍)) = (𝑛 · 𝑍))
9796breq2d 4027 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (1 · (𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑛 · 𝑍)))
98 1red 7986 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
996nnrpd 9708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℝ+)
10025, 91, 98, 99lt2mul2divd 9779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (1 · (𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛)))
1011nncnd 8947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
1025nncnd 8947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℂ)
103101, 102mulcomd 7993 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑛))
104103breq2d 4027 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (𝑛 · 𝑍) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛)))
10597, 100, 1043bitr3d 218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛)))
10694, 105mpbird 167 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛))
10726, 28, 22, 106ltadd2dd 8393 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)))
10813, 27, 29, 89, 107lttrd 8097 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)))
10913, 26readdcld 8001 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∈ ℝ)
11013, 28readdcld 8001 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11188simprd 114 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
11226, 28, 13, 106ltadd2dd 8393 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)))
11322, 109, 110, 111, 112lttrd 8097 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)))
114108, 113jca 306 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
115114ralrimiva 2560 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
116115ralrimiva 2560 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465   class class class wbr 4015  cmpt 4076  wf 5224  cfv 5228  (class class class)co 5888  cr 7824  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007   / cdiv 8643  cn 8933  cz 9267  cuz 9542  +crp 9667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11008
  Copyright terms: Public domain W3C validator