ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcau GIF version

Theorem cvg1nlemcau 10724
Description: Lemma for cvg1n 10726. By selecting spaced out terms for the modified sequence 𝐺, the terms are within 1 / 𝑛 (without the constant 𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start (𝜑𝐶 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑘   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 504 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
32ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
54ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℕ)
61, 5nnmulcld 8737 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℕ)
73, 6ffvelrnd 5524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8 oveq1 5749 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑛 · 𝑍))
98fveq2d 5393 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
119, 10fvmptg 5465 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
121, 7, 11syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
1312, 7eqeltrd 2194 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
14 eluznn 9362 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1514adantll 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615, 5nnmulcld 8737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ ℕ)
173, 16ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) ∈ ℝ)
18 oveq1 5749 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
1918fveq2d 5393 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2019, 10fvmptg 5465 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2115, 17, 20syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
2221, 17eqeltrd 2194 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2423rpred 9451 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2524ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2625, 6nndivred 8738 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 7763 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∈ ℝ)
281nnrecred 8735 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2922, 28readdcld 7763 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
30 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)))
3130oveq1d 5757 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
3231breq2d 3911 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
3330breq1d 3909 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
3432, 33anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑘 · 𝑍) → (((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
35 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (ℤ𝑎) = (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)))
36 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)))
37 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑎) = (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))
3837oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
3936, 38breq12d 3912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
4036, 37oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
4140breq2d 3911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → ((𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
4239, 41anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
4335, 42raleqbidv 2615 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑛 · 𝑍) → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍))((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
44 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
45 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑏 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑏))
4645oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)))
4746breq2d 3911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛))))
4845breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4947, 48anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑏 → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
5049cbvralv 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
5150ralbii 2418 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
52 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑎 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑎))
53 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
54 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑎 → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / 𝑎))
5554oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)))
5653, 55breq12d 3912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎))))
5753, 54oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))
5857breq2d 3911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
5956, 58anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑎 → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))))
6052, 59raleqbidv 2615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎)))))
6160cbvralv 2631 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6251, 61bitri 183 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6344, 62sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6463ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐹𝑎) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / 𝑎)) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹𝑎) + (𝐶 / 𝑎))))
6543, 64, 6rspcdva 2768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑏 ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍))((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹𝑏) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑏) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
66 eluzle 9306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘)
6766adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑘)
681nnred 8701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
6915nnred 8701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℝ)
705nnrpd 9450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7168, 69, 70lemul1d 9495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7267, 71mpbid 146 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍))
736nnzd 9140 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℤ)
7416nnzd 9140 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ ℤ)
75 eluz 9307 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · 𝑍) ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑍) ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7673, 74, 75syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝑛 · 𝑍) ≤ (𝑘 · 𝑍)))
7772, 76mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘 · 𝑍) ∈ (ℤ‘(𝑛 · 𝑍)))
7834, 65, 77rspcdva 2768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
7921oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
8079breq2d 3911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8121breq1d 3909 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8280, 81anbi12d 464 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘(𝑘 · 𝑍)) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
8378, 82mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8412breq1d 3909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8512oveq1d 5757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) = ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
8685breq2d 3911 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ↔ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8784, 86anbi12d 464 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐹‘(𝑛 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))))
8883, 87mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)))))
8988simpld 111 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
905nnred 8701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℝ)
911nnrpd 9450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
92 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝑍)
9392ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 < 𝑍)
9425, 90, 91, 93ltmul1dd 9507 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛))
956nncnd 8702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℂ)
9695mulid2d 7752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 · (𝑛 · 𝑍)) = (𝑛 · 𝑍))
9796breq2d 3911 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (1 · (𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑛 · 𝑍)))
98 1red 7749 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
996nnrpd 9450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) ∈ ℝ+)
10025, 91, 98, 99lt2mul2divd 9520 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (1 · (𝑛 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛)))
1011nncnd 8702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
1025nncnd 8702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑍 ∈ ℂ)
103101, 102mulcomd 7755 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑛))
104103breq2d 3911 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 · 𝑛) < (𝑛 · 𝑍) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛)))
10597, 100, 1043bitr3d 217 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛) ↔ (𝐶 · 𝑛) < (𝑍 · 𝑛)))
10694, 105mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / (𝑛 · 𝑍)) < (1 / 𝑛))
10726, 28, 22, 106ltadd2dd 8152 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)))
10813, 27, 29, 89, 107lttrd 7856 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)))
10913, 26readdcld 7763 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) ∈ ℝ)
11013, 28readdcld 7763 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11188simprd 113 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))))
11226, 28, 13, 106ltadd2dd 8152 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) + (𝐶 / (𝑛 · 𝑍))) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)))
11322, 109, 110, 111, 112lttrd 7856 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛)))
114108, 113jca 304 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
115114ralrimiva 2482 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
116115ralrimiva 2482 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393   class class class wbr 3899  cmpt 3959  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769   / cdiv 8400  cn 8688  cz 9022  cuz 9294  +crp 9409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10725
  Copyright terms: Public domain W3C validator