ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 10284
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9267 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 19 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 9367 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
54peano2zd 9364 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
65zred 9361 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7 2re 8975 . . . 4 2 ∈ ℝ
87a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 8996 . . . 4 0 < 2
109a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11 ge0div 8814 . . 3 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1238 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
134zcnd 9362 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14 1cnd 7961 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15 2cn 8976 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
16 2ap0 8998 . . . . . . 7 2 # 0
1715, 16pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
1817a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19 divdirap 8640 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
2013, 14, 18, 19syl3anc 1238 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21 zcn 9244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 2cnd 8978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2316a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
2421, 22, 23divcanap3d 8738 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
2524oveq1d 5884 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2620, 25eqtrd 2210 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2726breq2d 4012 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28 zre 9243 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29 halfre 9118 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
3029a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
3128, 30readdcld 7974 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32 halfge0 9121 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
3328, 30addge01d 8477 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
3432, 33mpbii 148 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35 1red 7960 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36 halflt1 9122 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3736a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8366 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39 btwnzge0 10283 . . 3 ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1239 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
4112, 27, 403bitrd 214 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7797  cr 7798  0cc0 7799  1c1 7800   + caddc 7802   · cmul 7804   < clt 7979  cle 7980   # cap 8525   / cdiv 8615  2c2 8956  cz 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11865
  Copyright terms: Public domain W3C validator