Theorem 2tnp1ge0ge0 10736

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9672	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9774	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6	5	zred 9768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7		2re 9374	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 9395	. . . 4 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11		ge0div 9201	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
13	4	zcnd 9769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		1cnd 8342	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15		2cn 9375	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		2ap0 9397	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19		divdirap 9027	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21		zcn 9649	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		2cnd 9377	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
23	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
24	21, 22, 23	divcanap3d 9125	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
25	24	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
26	20, 25	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
27	26	breq2d 4142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28		zre 9648	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29		halfre 9518	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
31	28, 30	readdcld 8355	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32		halfge0 9521	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
33	28, 30	addge01d 8861	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
34	32, 33	mpbii 148	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35		1red 8341	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36		halflt1 9522	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 8750	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39		btwnzge0 10735	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1279	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
41	12, 27, 40	3bitrd 214	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   # cap 8909   / cdiv 9002  2c2 9355  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  oddnn02np1  12647