Theorem 2tnp1ge0ge0 10236

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9319	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9316	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6	5	zred 9313	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7		2re 8927	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 8948	. . . 4 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11		ge0div 8766	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1228	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
13	4	zcnd 9314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		1cnd 7915	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15		2cn 8928	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		2ap0 8950	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19		divdirap 8593	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21		zcn 9196	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		2cnd 8930	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
23	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
24	21, 22, 23	divcanap3d 8691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
25	24	oveq1d 5857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
26	20, 25	eqtrd 2198	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
27	26	breq2d 3994	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28		zre 9195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29		halfre 9070	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
31	28, 30	readdcld 7928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32		halfge0 9073	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
33	28, 30	addge01d 8431	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
34	32, 33	mpbii 147	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35		1red 7914	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36		halflt1 9074	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 8320	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39		btwnzge0 10235	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
41	12, 27, 40	3bitrd 213	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   # cap 8479   / cdiv 8568  2c2 8908  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11817