ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 10301
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9281 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
21a1i 9 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3 id 19 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
42, 3zmulcld 9381 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
54peano2zd 9378 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
65zred 9375 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
7 2re 8989 . . . 4 2 โˆˆ โ„
87a1i 9 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
9 2pos 9010 . . . 4 0 < 2
109a1i 9 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 < 2)
11 ge0div 8828 . . 3 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2) โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1238 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2)))
134zcnd 9376 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 7973 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 2cn 8990 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
16 2ap0 9012 . . . . . . 7 2 # 0
1715, 16pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)
1817a1i 9 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0))
19 divdirap 8654 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)))
2013, 14, 18, 19syl3anc 1238 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)))
21 zcn 9258 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 2cnd 8992 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2316a1i 9 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
2421, 22, 23divcanap3d 8752 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
2524oveq1d 5890 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘ + (1 / 2)))
2620, 25eqtrd 2210 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (๐‘ + (1 / 2)))
2726breq2d 4016 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2))))
28 zre 9257 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
29 halfre 9132 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„
3029a1i 9 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
3128, 30readdcld 7987 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
32 halfge0 9135 . . . 4 0 โ‰ค (1 / 2)
3328, 30addge01d 8490 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (1 / 2) โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2))))
3432, 33mpbii 148 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)))
35 1red 7972 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
36 halflt1 9136 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3736a1i 9 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) < 1)
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8379 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) < (๐‘ + 1))
39 btwnzge0 10300 . . 3 ((((๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โˆง (๐‘ + (1 / 2)) < (๐‘ + 1))) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
4112, 27, 403bitrd 214 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  โ„คcz 9253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11885
  Copyright terms: Public domain W3C validator