Theorem 2tnp1ge0ge0 10714

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9651	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9753	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9750	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6	5	zred 9747	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7		2re 9353	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 9374	. . . 4 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11		ge0div 9191	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
13	4	zcnd 9748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		1cnd 8332	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15		2cn 9354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		2ap0 9376	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19		divdirap 9017	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21		zcn 9628	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		2cnd 9356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
23	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
24	21, 22, 23	divcanap3d 9115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
25	24	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
26	20, 25	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
27	26	breq2d 4137	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28		zre 9627	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29		halfre 9497	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
31	28, 30	readdcld 8345	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32		halfge0 9500	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
33	28, 30	addge01d 8851	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
34	32, 33	mpbii 148	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35		1red 8331	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36		halflt1 9501	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 8740	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39		btwnzge0 10713	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1279	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
41	12, 27, 40	3bitrd 214	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992  2c2 9334  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  12625