ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recreclt GIF version

Theorem recreclt 8870
Description: Given a positive number 𝐴, construct a new positive number less than both 𝐴 and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recreclt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Proof of Theorem recreclt
StepHypRef Expression
1 recgt0 8820 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
2 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 gt0ap0 8596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
42, 3rerecclapd 8804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5 1re 7969 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 ltaddpos 8422 . . . . 5 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
81, 7mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 < (1 + (1 / 𝐴)))
9 readdcl 7950 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
105, 4, 9sylancr 414 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
11 0lt1 8097 . . . . . 6 0 < 1
12 0re 7970 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 lttr 8044 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1412, 5, 13mp3an12 1337 . . . . . . 7 ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1510, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1611, 15mpani 430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
178, 16mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 + (1 / 𝐴)))
18 recgt1 8867 . . . 4 (((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴))) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
1910, 17, 18syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
208, 19mpbid 147 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1)
21 ltaddpos 8422 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
225, 4, 21sylancr 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
2311, 22mpbii 148 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1))
244recnd 7999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 7917 . . . . 5 1 ∈ ℂ
26 addcom 8107 . . . . 5 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
2724, 25, 26sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
2823, 27breqtrd 4041 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)))
29 simpr 110 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
30 ltrec1 8858 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴)))) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
312, 29, 10, 17, 30syl22anc 1249 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
3228, 31mpbid 147 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴)
3320, 32jca 306 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  cc 7822  cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005   / cdiv 8642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator