Theorem posdif 8623

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 8431	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltaddpos 8620	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
6		recn 8153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 8153	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		pncan3 8375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
10	9	breq2d 4096	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	5, 10	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011  ℂcc 8018  ℝcr 8019  0cc0 8020   + caddc 8023   < clt 8202   − cmin 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-sub 8340  df-neg 8341

This theorem is referenced by:  posdifi  8666  posdifd  8700  nnsub  9170  znnsub  9519  difrp  9915  xposdif  10105  eluzgtdifelfzo  10430  subfzo0  10476  pfxccatin12lem3  11300  efltim  12246  cos01gt0  12311  ndvdsadd  12479  nn0seqcvgd  12600  sinq12gt0  15541  cosq14gt0  15543  logdivlti  15592  perfectlem2  15711