Theorem posdif 8791

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 8598	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltaddpos 8788	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
6		recn 8319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 8319	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		pncan3 8542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
10	9	breq2d 4143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	5, 10	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   < clt 8367   − cmin 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-sub 8507  df-neg 8508

This theorem is used by:  posdifi  8834  posdifd  8868  nnsub  9353  znnsub  9708  difrp  10111  xposdif  10302  eluzgtdifelfzo  10633  subfzo0  10679  pfxccatin12lem3  11527  efltim  12491  cos01gt0  12556  ndvdsadd  12724  nn0seqcvgd  12845  sinq12gt0  16069  cosq14gt0  16071  logdivlti  16123  perfectlem2  16312