ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  posdif GIF version

Theorem posdif 8224
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 8033 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ltaddpos 8221 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
52, 3, 4syl2anc 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
6 recn 7760 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 recn 7760 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 pncan3 7977 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
96, 7, 8syl2an 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
109breq2d 3941 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
115, 10bitr2d 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627   + caddc 7630   < clt 7807  cmin 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  posdifi  8267  posdifd  8301  nnsub  8766  znnsub  9112  difrp  9487  xposdif  9672  eluzgtdifelfzo  9981  subfzo0  10026  efltim  11411  cos01gt0  11476  ndvdsadd  11635  nn0seqcvgd  11729  sinq12gt0  12924  cosq14gt0  12926
  Copyright terms: Public domain W3C validator