ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metrtri GIF version
Theorem metrtri 14274
Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
metrtri ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem metrtri
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 simpr2 1006 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3 simpr3 1007 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4 simpr1 1005 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 mettri 14270 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1251 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)))
7 metcl 14250 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
81, 4, 2, 7syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
98recnd 8004 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ β„‚)
10 metcl 14250 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ)
111, 4, 3, 10syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ)
1211recnd 8004 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ β„‚)
13 metsym 14268 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
141, 2, 4, 13syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
1514oveq1d 5906 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)) = ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐴𝐷𝐢)))
169, 12, 15comraddd 8132 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)) = ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
176, 16breqtrd 4044 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
18 metcl 14250 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ)
191, 2, 3, 18syl3anc 1249 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ)
2019, 8, 11lesubaddd 8517 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢) ↔ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡))))
2117, 20mpbird 167 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢))
22 mettri 14270 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)))
231, 4, 3, 2, 22syl13anc 1251 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)))
2419recnd 8004 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ β„‚)
259, 24addcomd 8126 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
2623, 25breqtrd 4044 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
2711, 19, 8absdifled 11206 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢) ∧ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))))
2821, 26, 27mpbir2and 946 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„cr 7828   + caddc 7832   ≀ cle 8011   βˆ’ cmin 8146  abscabs 11024  Metcmet 13811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-xadd 9791  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-xmet 13818  df-met 13819
This theorem is referenced by:  msrtri  14373
  Copyright terms: Public domain W3C validator