ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metrtri GIF version
Theorem metrtri 14104
Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
metrtri ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem metrtri
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 simpr2 1005 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3 simpr3 1006 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4 simpr1 1004 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 mettri 14100 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1250 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)))
7 metcl 14080 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
81, 4, 2, 7syl3anc 1248 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
98recnd 7999 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ β„‚)
10 metcl 14080 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ)
111, 4, 3, 10syl3anc 1248 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ)
1211recnd 7999 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ β„‚)
13 metsym 14098 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
141, 2, 4, 13syl3anc 1248 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
1514oveq1d 5903 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)) = ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐴𝐷𝐢)))
169, 12, 15comraddd 8127 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) + (𝐴𝐷𝐢)) = ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
176, 16breqtrd 4041 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
18 metcl 14080 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ)
191, 2, 3, 18syl3anc 1248 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ)
2019, 8, 11lesubaddd 8512 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢) ↔ (𝐡𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡))))
2117, 20mpbird 167 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢))
22 mettri 14100 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)))
231, 4, 3, 2, 22syl13anc 1250 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)))
2419recnd 7999 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ β„‚)
259, 24addcomd 8121 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) + (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
2623, 25breqtrd 4041 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))
2711, 19, 8absdifled 11201 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (((𝐡𝐷𝐢) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ≀ (𝐴𝐷𝐢) ∧ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐡𝐷𝐢) + (𝐴𝐷𝐡)))))
2821, 26, 27mpbir2and 945 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((𝐴𝐷𝐢) βˆ’ (𝐡𝐷𝐢))) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„cr 7823   + caddc 7827   ≀ cle 8006   βˆ’ cmin 8141  abscabs 11019  Metcmet 13654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-xmet 13661  df-met 13662
This theorem is referenced by:  msrtri  14203
  Copyright terms: Public domain W3C validator