Theorem dvmptsubcn 15437

Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptsubcn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptsubcn.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptsubcn.dc	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptsubcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptsubcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8158	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
6		ssidd 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7		dvmptsubcn.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	negcld 8467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝐶 ∈ ℂ)
9		dvmptsubcn.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ 𝑊)
10		dvmptsubcn.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐷))
11	2, 7, 9, 10, 6	dvmptclx 15432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	11	negcld 8467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 9, 10	dvmptnegcn 15436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐷))
14	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13	dvmptaddx 15433	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + -𝐷)))
15	3, 7	negsubd 8486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
16	15	mpteq2dva 4177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶)))
17	16	oveq2d 6029	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))))
18	2, 3, 4, 5, 6	dvmptclx 15432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 8486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
20	19	mpteq2dva 4177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + -𝐷)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))
21	14, 17, 20	3eqtr3d 2270	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668   ↦ cmpt 4148  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021   + caddc 8025   − cmin 8340  -cneg 8341   D cdv 15369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-cn 14902  df-cnp 14903  df-tx 14967  df-cncf 15285  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by:  dvef  15441