Theorem dvmptsubcn 15270

Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptsubcn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptsubcn.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptsubcn.dc	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptsubcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptsubcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8081	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
6		ssidd 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7		dvmptsubcn.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	negcld 8390	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝐶 ∈ ℂ)
9		dvmptsubcn.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ 𝑊)
10		dvmptsubcn.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐷))
11	2, 7, 9, 10, 6	dvmptclx 15265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	11	negcld 8390	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 9, 10	dvmptnegcn 15269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐷))
14	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13	dvmptaddx 15266	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + -𝐷)))
15	3, 7	negsubd 8409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
16	15	mpteq2dva 4142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶)))
17	16	oveq2d 5973	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))))
18	2, 3, 4, 5, 6	dvmptclx 15265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 8409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
20	19	mpteq2dva 4142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + -𝐷)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))
21	14, 17, 20	3eqtr3d 2247	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3639   ↦ cmpt 4113  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944   + caddc 7948   − cmin 8263  -cneg 8264   D cdv 15202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065  ax-addf 8067  ax-mulf 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-of 6171  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-map 6750  df-pm 6751  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-rest 13148  df-topgen 13167  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-met 14382  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-top 14545  df-topon 14558  df-bases 14590  df-ntr 14643  df-cn 14735  df-cnp 14736  df-tx 14800  df-cncf 15118  df-limced 15203  df-dvap 15204

This theorem is referenced by:  dvef  15274