ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptcmulcn GIF version

Theorem dvmptcmulcn 12866
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcmulcn.a ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵𝑉)
dvmptcmulcn.da (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptcmulcn.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvmptcmulcn (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmulcn
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 7768 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvmptcmulcn.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
43adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 0cnd 7771 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
63dvmptccn 12862 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
7 ssidd 3118 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8 dvmptcmulcn.a . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 dvmptcmulcn.b . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵𝑉)
10 dvmptcmulcn.da . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
112, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dvmptmulx 12865 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
128mul02d 8166 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) = 0)
1312oveq1d 5789 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
142, 8, 9, 10, 7dvmptclx 12863 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514, 4mulcld 7798 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
1615addid2d 7924 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
1714, 4mulcomd 7799 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1813, 16, 173eqtrd 2176 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
1918mpteq2dva 4018 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
2011, 19eqtrd 2172 1 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {cpr 3528  cmpt 3989  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635   · cmul 7637   D cdv 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-addf 7754  ax-mulf 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-ntr 12279  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-cncf 12741  df-limced 12808  df-dvap 12809
This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  12867
  Copyright terms: Public domain W3C validator