Theorem dvmptcmulcn 15745

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptcmulcn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmulcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8305	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcmulcn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		0cnd 8309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
6	3	dvmptccn 15739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
7		ssidd 3269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
11	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dvmptmulx 15744	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
12	8	mul02d 8709	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) = 0)
13	12	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
14	2, 8, 9, 10, 7	dvmptclx 15742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 4	mulcld 8336	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	addlidd 8466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
17	14, 4	mulcomd 8337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
18	13, 16, 17	3eqtrd 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
19	18	mpteq2dva 4216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
20	11, 19	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3706   ↦ cmpt 4187  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   D cdv 15679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pm 6915  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  15746  dvply1  15789