Theorem dvmptcmulcn 15278

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptcmulcn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmulcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8091	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcmulcn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		0cnd 8095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
6	3	dvmptccn 15272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
7		ssidd 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
11	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dvmptmulx 15277	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
12	8	mul02d 8494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) = 0)
13	12	oveq1d 5977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
14	2, 8, 9, 10, 7	dvmptclx 15275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 4	mulcld 8123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	addlidd 8252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
17	14, 4	mulcomd 8124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
18	13, 16, 17	3eqtrd 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
19	18	mpteq2dva 4145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
20	11, 19	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3639   ↦ cmpt 4116  (class class class)co 5962  ℂcc 7953  ℝcr 7954  0cc0 7955   + caddc 7958   · cmul 7960   D cdv 15212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075  ax-addf 8077  ax-mulf 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-of 6176  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-map 6755  df-pm 6756  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-xadd 9925  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-rest 13158  df-topgen 13177  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-met 14392  df-bl 14393  df-mopn 14394  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600  df-ntr 14653  df-cn 14745  df-cnp 14746  df-tx 14810  df-cncf 15128  df-limced 15213  df-dvap 15214

This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  15279  dvply1  15322