Theorem dvmptcmulcn 14268

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptcmulcn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmulcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 7949	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcmulcn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		0cnd 7952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
6	3	dvmptccn 14264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
7		ssidd 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
11	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dvmptmulx 14267	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
12	8	mul02d 8351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝐴) = 0)
13	12	oveq1d 5892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
14	2, 8, 9, 10, 7	dvmptclx 14265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 4	mulcld 7980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	addid2d 8109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
17	14, 4	mulcomd 7981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
18	13, 16, 17	3eqtrd 2214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
19	18	mpteq2dva 4095	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))
20	11, 19	eqtrd 2210	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3595   ↦ cmpt 4066  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816   · cmul 7818   D cdv 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211

This theorem is referenced by:  dvmptnegcn  14269