Theorem dvmptnegcn 15194

Description: Function-builder for derivative, product rule for negatives. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcmulcn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcmulcn.da	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptnegcn	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptnegcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptcmulcn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvmptcmulcn.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		dvmptcmulcn.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
4		neg1cn 9141	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 5	dvmptcmulcn 15193	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 · 𝐵)))
7	1	mulm1d 8482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	mpteq2dva 4134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
9	8	oveq2d 5960	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 · 𝐴))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐴)))
10		cnelprrecn 8061	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		ssidd 3214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
13	11, 1, 2, 3, 12	dvmptclx 15190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	mulm1d 8482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
15	14	mpteq2dva 4134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐵))
16	6, 9, 15	3eqtr3d 2246	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {cpr 3634   ↦ cmpt 4105  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  ℝcr 7924  1c1 7926   · cmul 7930  -cneg 8244   D cdv 15127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-of 6158  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-pm 6738  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-rest 13073  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-ntr 14568  df-cn 14660  df-cnp 14661  df-tx 14725  df-cncf 15043  df-limced 15128  df-dvap 15129

This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  15195