ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divccncfap GIF version

Theorem divccncfap 12772
Description: Division by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Jan-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
divccncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴))
Assertion
Ref Expression
divccncfap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem divccncfap
StepHypRef Expression
1 divccncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴))
2 divrecap2 8468 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
323expb 1182 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
43ancoms 266 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
54mpteq2dva 4021 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)))
61, 5syl5eq 2184 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)))
7 recclap 8458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8 eqid 2139 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥))
98mulc1cncf 12771 . . 3 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
107, 9syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116, 10eqeltrd 2216 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3932  cmpt 3992  (class class class)co 5777  cc 7637  0cc0 7639  1c1 7640   · cmul 7644   # cap 8362   / cdiv 8451  cnccncf 12752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-map 6547  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-rp 9464  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-cncf 12753
This theorem is referenced by:  sincn  12885  coscn  12886
  Copyright terms: Public domain W3C validator