Theorem mulneg2i 7980

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mulneg2i	⊢ (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulneg2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mulneg.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mulneg2 7971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 418	1 ⊢ (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  (class class class)co 5690  ℂcc 7445   · cmul 7452  -cneg 7751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-neg 7753

This theorem is referenced by:  irec  10185  absi  10623