ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absi GIF version

Theorem absi 11082
Description: The absolute value of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
absi (abs‘i) = 1

Proof of Theorem absi
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7920 . . 3 i ∈ ℂ
2 absval 11024 . . 3 (i ∈ ℂ → (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i)))
4 cji 10925 . . . . 5 (∗‘i) = -i
54oveq2i 5899 . . . 4 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
61, 1mulneg2i 8376 . . . 4 (i · -i) = -(i · i)
7 ixi 8554 . . . . . 6 (i · i) = -1
87negeqi 8165 . . . . 5 -(i · i) = --1
9 negneg1e1 9043 . . . . 5 --1 = 1
108, 9eqtri 2208 . . . 4 -(i · i) = 1
115, 6, 103eqtri 2212 . . 3 (i · (∗‘i)) = 1
1211fveq2i 5530 . 2 (√‘(i · (∗‘i))) = (√‘1)
13 sqrt1 11069 . 2 (√‘1) = 1
143, 12, 133eqtri 2212 1 (abs‘i) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1363  wcel 2158  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  1c1 7826  ici 7827   · cmul 7830  -cneg 8143  ccj 10862  csqrt 11019  abscabs 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022
This theorem is referenced by:  absimle  11107  ef01bndlem  11778  qdencn  15072
  Copyright terms: Public domain W3C validator