Theorem negsubdi2i 8432

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2i	⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

Proof of Theorem negsubdi2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	negsubdii 8431	. 2 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵)
4	1	negcli 8414	. . 3 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
5	2, 1	negsubi 8424	. . 3 ⊢ (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
6	2, 4, 5	addcomli 8291	. 2 ⊢ (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)
7	3, 6	eqtri 2250	1 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6001  ℂcc 7997   + caddc 8002   − cmin 8317  -cneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  zeo  9552  resqrexlemcalc1  11525  geo2sum2  12026  cos2bnd  12271  3dvds  12375