Theorem geo2sum2 12209

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9602	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 10489	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
4	3	sumeq1d 12059	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5		2cn 9313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		1ap2 9450	. . . . 5 ⊢ 1 # 2
8		ax-1cn 8225	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		apsym 8885	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (1 # 2 ↔ 2 # 1))
10	8, 5, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1 # 2 ↔ 2 # 1)
11	7, 10	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 1)
13		id 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	6, 12, 13	geoserap 12201	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
15	6, 13	expcld 11043	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
16	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 8589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
18		1ap0 8869	. . . . 5 ⊢ 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 # 0)
20	17, 16, 19	div2negapd 9084	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
21	15, 16	negsubdi2d 8605	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
22		2m1e1 9360	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	negeqi 8472	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = -1
24	5, 8	negsubdi2i 8564	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
25	23, 24	eqtr3i 2257	. . . . 5 ⊢ -1 = (1 − 2)
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
27	21, 26	oveq12d 6070	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
28	17	div1d 9059	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2275	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
30	4, 14, 29	3eqtrd 2271	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   − cmin 8449  -cneg 8450   # cap 8860   / cdiv 8951  2c2 9293  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582  ...cfz 10348  ..^cfzo 10483  ↑cexp 10907  Σcsu 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047

This theorem is referenced by: (None)