Theorem geo2sum2 11699

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9365	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 10242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
4	3	sumeq1d 11550	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5		2cn 9080	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		1ap2 9217	. . . . 5 ⊢ 1 # 2
8		ax-1cn 7991	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		apsym 8652	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (1 # 2 ↔ 2 # 1))
10	8, 5, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1 # 2 ↔ 2 # 1)
11	7, 10	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 1)
13		id 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	6, 12, 13	geoserap 11691	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
15	6, 13	expcld 10784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
16	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 8356	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
18		1ap0 8636	. . . . 5 ⊢ 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 # 0)
20	17, 16, 19	div2negapd 8851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
21	15, 16	negsubdi2d 8372	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
22		2m1e1 9127	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	negeqi 8239	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = -1
24	5, 8	negsubdi2i 8331	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
25	23, 24	eqtr3i 2219	. . . . 5 ⊢ -1 = (1 − 2)
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
27	21, 26	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
28	17	div1d 8826	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2237	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
30	4, 14, 29	3eqtrd 2233	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   − cmin 8216  -cneg 8217   # cap 8627   / cdiv 8718  2c2 9060  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ...cfz 10102  ..^cfzo 10236  ↑cexp 10649  Σcsu 11537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538

This theorem is referenced by: (None)