Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 GIF version

Theorem geo2sum2 11291
 Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 9081 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 fzoval 9932 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
31, 2syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
43sumeq1d 11142 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5 2cn 8798 . . . 4 2 ∈ ℂ
65a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 1ap2 8934 . . . . 5 1 # 2
8 ax-1cn 7720 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 apsym 8375 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (1 # 2 ↔ 2 # 1))
108, 5, 9mp2an 422 . . . . 5 (1 # 2 ↔ 2 # 1)
117, 10mpbi 144 . . . 4 2 # 1
1211a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 # 1)
13 id 19 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
146, 12, 13geoserap 11283 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
156, 13expcld 10431 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
168a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1715, 16subcld 8080 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
18 1ap0 8359 . . . . 5 1 # 0
1918a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 # 0)
2017, 16, 19div2negapd 8572 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
2115, 16negsubdi2d 8096 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
22 2m1e1 8845 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
2322negeqi 7963 . . . . . 6 -(2 − 1) = -1
245, 8negsubdi2i 8055 . . . . . 6 -(2 − 1) = (1 − 2)
2523, 24eqtr3i 2162 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
2625a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
2721, 26oveq12d 5792 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
2817div1d 8547 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
2920, 27, 283eqtr3d 2180 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
304, 14, 293eqtrd 2176 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   − cmin 7940  -cneg 7941   # cap 8350   / cdiv 8439  2c2 8778  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ...cfz 9797  ..^cfzo 9926  ↑cexp 10299  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator