ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdivmuldivd GIF version
Theorem rdivmuldivd 13318
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
rdivmuldivd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.b (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
rdivmuldivd.c (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
rdivmuldivd.d (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 dvrdir.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
21a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
3 rdivmuldivd.p . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
43a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
5 dvrdir.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
65a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
7 eqidd 2178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…))
8 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/rβ€˜π‘…)
98a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
10 rdivmuldivd.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1110crngringd 13197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 rdivmuldivd.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 rdivmuldivd.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
142, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13dvrvald 13308 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
1514oveq1d 5892 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)))
16 ringsrg 13229 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
1711, 16syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
182, 6, 17unitssd 13283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
19 eqid 2177 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
205, 19unitinvcl 13297 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2111, 13, 20syl2anc 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2218, 21sseldd 3158 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
23 rdivmuldivd.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
24 rdivmuldivd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
251, 5, 8dvrcl 13309 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
2611, 23, 24, 25syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)
271, 3ringass 13204 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
2811, 12, 22, 26, 27syl13anc 1240 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))))
291, 3crngcom 13202 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
3010, 22, 26, 29syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
3130oveq2d 5893 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š))) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
3215, 28, 313eqtrd 2214 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
33 eqid 2177 . . . . . . . . 9 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
345, 33unitgrp 13290 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3511, 34syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
36 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
376, 36, 17unitgrpbasd 13289 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
3813, 37eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
3924, 37eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
40 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
41 eqid 2177 . . . . . . . 8 (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
42 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
4340, 41, 42grpinvadd 12953 . . . . . . 7 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))) β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Œ)))
4435, 38, 39, 43syl3anc 1238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Œ)))
456, 36, 7, 11invrfvald 13296 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4645fveq1d 5519 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)))
4745fveq1d 5519 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Š))
4845fveq1d 5519 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Œ))
4947, 48oveq12d 5895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘Œ)))
5044, 46, 493eqtr4d 2220 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
51 basfn 12522 . . . . . . . . . . . 12 Base Fn V
5210elexd 2752 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
53 funfvex 5534 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
5453funfni 5318 . . . . . . . . . . . 12 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
5551, 52, 54sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
561, 55eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
5756, 18ssexd 4145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
58 ressex 12527 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ (𝑅 β†Ύs π‘ˆ) ∈ V)
59 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
60 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))
6159, 60mgpplusgg 13139 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 β†Ύs π‘ˆ) ∈ V β†’ (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
6258, 61syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
6310, 57, 62syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
64 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑅 β†Ύs π‘ˆ) = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
6564, 3ressmulrg 12605 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
6657, 10, 65syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
67 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
6864, 67mgpress 13146 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
6911, 57, 68syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ)))
7069fveq2d 5521 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 β†Ύs π‘ˆ))))
7163, 66, 703eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
7271oveqd 5894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) = (π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š))
7372fveq2d 5521 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))π‘Š)))
7471oveqd 5894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
7550, 73, 743eqtr4d 2220 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
7675oveq2d 5893 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
771, 3ringcl 13201 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
7811, 12, 23, 77syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
795, 3unitmulcl 13287 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
8011, 13, 24, 79syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· π‘Š) ∈ π‘ˆ)
812, 4, 6, 7, 9, 11, 78, 80dvrvald 13308 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘Œ Β· π‘Š))))
825, 19unitinvcl 13297 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
8311, 24, 82syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
8418, 83sseldd 3158 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
851, 3ringass 13204 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
8611, 12, 23, 84, 85syl13anc 1240 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
872, 4, 6, 7, 9, 11, 23, 24dvrvald 13308 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Š) = (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)))
8887oveq2d 5893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š))))
8986, 88eqtr4d 2213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) = (𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)))
9089oveq1d 5892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
911, 3ringass 13204 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
9211, 78, 84, 22, 91syl13anc 1240 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 Β· 𝑍) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
931, 3ringass 13204 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 / π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
9411, 12, 26, 22, 93syl13anc 1240 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (𝑍 / π‘Š)) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
9590, 92, 943eqtr3rd 2219 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
9676, 81, 953eqtr4rd 2221 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· ((𝑍 / π‘Š) Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
9732, 96eqtrd 2210 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· (𝑍 / π‘Š)) = ((𝑋 Β· 𝑍) / (π‘Œ Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464   β†Ύs cress 12465  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Grpcgrp 12882  invgcminusg 12883  mulGrpcmgp 13135  SRingcsrg 13151  Ringcrg 13184  CRingccrg 13185  Unitcui 13261  invrcinvr 13294  /rcdvr 13305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-cring 13187  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264  df-invr 13295  df-dvr 13306
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator