Theorem rdivmuldivd 14281

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		eqidd 2233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
8		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
10		rdivmuldivd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 14145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		rdivmuldivd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		rdivmuldivd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13	dvrvald 14271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15	14	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
16		ringsrg 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
17	11, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
18	2, 6, 17	unitssd 14246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
19		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	5, 19	unitinvcl 14260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
21	11, 13, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
22	18, 21	sseldd 3238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
25	1, 5, 8	dvrcl 14272	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
26	11, 23, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
27	1, 3	ringass 14152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
28	11, 12, 22, 26, 27	syl13anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
29	1, 3	crngcom 14150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
30	10, 22, 26, 29	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	oveq2d 6065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
32	15, 28, 31	3eqtrd 2269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
33		eqid 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
34	5, 33	unitgrp 14253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
35	11, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
36		eqidd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
37	6, 36, 17	unitgrpbasd 14252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
38	13, 37	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
39	24, 37	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
43	40, 41, 42	grpinvadd 13783	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
44	35, 38, 39, 43	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
45	6, 36, 7, 11	invrfvald 14259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	45	fveq1d 5671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
47	45	fveq1d 5671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊))
48	45	fveq1d 5671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌))
49	47, 48	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51		basfn 13263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Base Fn V
52	10	elexd 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
53		funfvex 5686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	53	funfni 5457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
55	51, 52, 54	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
56	1, 55	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
57	56, 18	ssexd 4249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
58		ressex 13270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V)
59		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
60		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
61	59, 60	mgpplusgg 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
62	58, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
63	10, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
64		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
65	64, 3	ressmulrg 13350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	57, 10, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
67		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
68	64, 67	mgpress 14067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
69	11, 57, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
70	69	fveq2d 5673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	63, 66, 70	3eqtr4d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
72	71	oveqd 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
73	72	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
74	71	oveqd 6066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
75	50, 73, 74	3eqtr4d 2275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
76	75	oveq2d 6065	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
77	1, 3	ringcl 14149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
78	11, 12, 23, 77	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
79	5, 3	unitmulcl 14250	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
80	11, 13, 24, 79	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
81	2, 4, 6, 7, 9, 11, 78, 80	dvrvald 14271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
82	5, 19	unitinvcl 14260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
83	11, 24, 82	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
84	18, 83	sseldd 3238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
85	1, 3	ringass 14152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
86	11, 12, 23, 84, 85	syl13anc 1276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
87	2, 4, 6, 7, 9, 11, 23, 24	dvrvald 14271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
88	87	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
89	86, 88	eqtr4d 2268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
90	89	oveq1d 6064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
91	1, 3	ringass 14152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
92	11, 78, 84, 22, 91	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
93	1, 3	ringass 14152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
94	11, 12, 26, 22, 93	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
95	90, 92, 94	3eqtr3rd 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
96	76, 81, 95	3eqtr4rd 2276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
97	32, 96	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204   ↾_s cress 13205  +_gcplusg 13282  ._rcmulr 13283  Grpcgrp 13705  inv_gcminusg 13706  mulGrpcmgp 14056  SRingcsrg 14099  Ringcrg 14132  CRingccrg 14133  Unitcui 14223  inv_rcinvr 14257  /_rcdvr 14268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-cring 14135  df-oppr 14204  df-dvdsr 14225  df-unit 14226  df-invr 14258  df-dvr 14269

This theorem is referenced by: (None)