Theorem rdivmuldivd 13640

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		eqidd 2194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
8		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
10		rdivmuldivd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 13505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		rdivmuldivd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		rdivmuldivd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13	dvrvald 13630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15	14	oveq1d 5933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
16		ringsrg 13543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
17	11, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
18	2, 6, 17	unitssd 13605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
19		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	5, 19	unitinvcl 13619	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
21	11, 13, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
22	18, 21	sseldd 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
25	1, 5, 8	dvrcl 13631	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
26	11, 23, 24, 25	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
27	1, 3	ringass 13512	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
28	11, 12, 22, 26, 27	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
29	1, 3	crngcom 13510	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
30	10, 22, 26, 29	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
32	15, 28, 31	3eqtrd 2230	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
33		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
34	5, 33	unitgrp 13612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
35	11, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
36		eqidd 2194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
37	6, 36, 17	unitgrpbasd 13611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
38	13, 37	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
39	24, 37	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
43	40, 41, 42	grpinvadd 13150	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
44	35, 38, 39, 43	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
45	6, 36, 7, 11	invrfvald 13618	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	45	fveq1d 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
47	45	fveq1d 5556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊))
48	45	fveq1d 5556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌))
49	47, 48	oveq12d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51		basfn 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Base Fn V
52	10	elexd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
53		funfvex 5571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	53	funfni 5354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
55	51, 52, 54	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
56	1, 55	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
57	56, 18	ssexd 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
58		ressex 12683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V)
59		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
60		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
61	59, 60	mgpplusgg 13420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
62	58, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
63	10, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
64		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
65	64, 3	ressmulrg 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	57, 10, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
67		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
68	64, 67	mgpress 13427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
69	11, 57, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
70	69	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	63, 66, 70	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
72	71	oveqd 5935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
73	72	fveq2d 5558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
74	71	oveqd 5935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
75	50, 73, 74	3eqtr4d 2236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
76	75	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
77	1, 3	ringcl 13509	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
78	11, 12, 23, 77	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
79	5, 3	unitmulcl 13609	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
80	11, 13, 24, 79	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
81	2, 4, 6, 7, 9, 11, 78, 80	dvrvald 13630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
82	5, 19	unitinvcl 13619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
83	11, 24, 82	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
84	18, 83	sseldd 3180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
85	1, 3	ringass 13512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
86	11, 12, 23, 84, 85	syl13anc 1251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
87	2, 4, 6, 7, 9, 11, 23, 24	dvrvald 13630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
88	87	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
89	86, 88	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
90	89	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
91	1, 3	ringass 13512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
92	11, 78, 84, 22, 91	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
93	1, 3	ringass 13512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
94	11, 12, 26, 22, 93	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
95	90, 92, 94	3eqtr3rd 2235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
96	76, 81, 95	3eqtr4rd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
97	32, 96	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  mulGrpcmgp 13416  SRingcsrg 13459  Ringcrg 13492  CRingccrg 13493  Unitcui 13583  inv_rcinvr 13616  /_rcdvr 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617  df-dvr 13628

This theorem is referenced by: (None)