Theorem rdivmuldivd 14434

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
8		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
10		rdivmuldivd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 14296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		rdivmuldivd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		rdivmuldivd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13	dvrvald 14424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15	14	oveq1d 6094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
16		ringsrg 14335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
17	11, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
18	2, 6, 17	unitssd 14399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
19		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	5, 19	unitinvcl 14413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
21	11, 13, 20	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
22	18, 21	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
25	1, 5, 8	dvrcl 14425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
26	11, 23, 24, 25	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
27	1, 3	ringass 14303	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
28	11, 12, 22, 26, 27	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
29	1, 3	crngcom 14301	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
30	10, 22, 26, 29	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
32	15, 28, 31	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
33		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
34	5, 33	unitgrp 14406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
35	11, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
36		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
37	6, 36, 17	unitgrpbasd 14405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
38	13, 37	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
39	24, 37	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
43	40, 41, 42	grpinvadd 13866	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
44	35, 38, 39, 43	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
45	6, 36, 7, 11	invrfvald 14412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	45	fveq1d 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
47	45	fveq1d 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊))
48	45	fveq1d 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌))
49	47, 48	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51		basfn 13394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Base Fn V
52	10	elexd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
53		funfvex 5710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	53	funfni 5481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
55	51, 52, 54	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
56	1, 55	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
57	56, 18	ssexd 4271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
58		ressex 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V)
59		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
60		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
61	59, 60	mgpplusgg 14204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
62	58, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
63	10, 57, 62	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
64		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
65	64, 3	ressmulrg 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	57, 10, 65	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
67		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
68	64, 67	mgpress 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
69	11, 57, 68	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
70	69	fveq2d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	63, 66, 70	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
72	71	oveqd 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
73	72	fveq2d 5697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
74	71	oveqd 6096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
75	50, 73, 74	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
76	75	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
77	1, 3	ringcl 14300	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
78	11, 12, 23, 77	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
79	5, 3	unitmulcl 14403	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
80	11, 13, 24, 79	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
81	2, 4, 6, 7, 9, 11, 78, 80	dvrvald 14424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
82	5, 19	unitinvcl 14413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
83	11, 24, 82	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
84	18, 83	sseldd 3249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
85	1, 3	ringass 14303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
86	11, 12, 23, 84, 85	syl13anc 1280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
87	2, 4, 6, 7, 9, 11, 23, 24	dvrvald 14424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
88	87	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
89	86, 88	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
90	89	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
91	1, 3	ringass 14303	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
92	11, 78, 84, 22, 91	syl13anc 1280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
93	1, 3	ringass 14303	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
94	11, 12, 26, 22, 93	syl13anc 1280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
95	90, 92, 94	3eqtr3rd 2280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
96	76, 81, 95	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
97	32, 96	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415  Grpcgrp 13788  inv_gcminusg 13789  mulGrpcmgp 14200  SRingcsrg 14250  Ringcrg 14283  CRingccrg 14284  Unitcui 14376  inv_rcinvr 14410  /_rcdvr 14421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-unit 14379  df-invr 14411  df-dvr 14422

This theorem is referenced by: (None)