Theorem rdivmuldivd 13976

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)
rdivmuldivd.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
rdivmuldivd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rdivmuldivd.c	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
rdivmuldivd.d	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rdivmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrdir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rdivmuldivd.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
5		dvrdir.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
7		eqidd 2207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
8		dvrdir.t	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
10		rdivmuldivd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 13841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		rdivmuldivd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		rdivmuldivd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13	dvrvald 13966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15	14	oveq1d 5971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
16		ringsrg 13879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
17	11, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
18	2, 6, 17	unitssd 13941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
19		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
20	5, 19	unitinvcl 13955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
21	11, 13, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
22	18, 21	sseldd 3198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23		rdivmuldivd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		rdivmuldivd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
25	1, 5, 8	dvrcl 13967	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
26	11, 23, 24, 25	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
27	1, 3	ringass 13848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
28	11, 12, 22, 26, 27	syl13anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
29	1, 3	crngcom 13846	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
30	10, 22, 26, 29	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
31	30	oveq2d 5972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
32	15, 28, 31	3eqtrd 2243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
33		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
34	5, 33	unitgrp 13948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
35	11, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
36		eqidd 2207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
37	6, 36, 17	unitgrpbasd 13947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
38	13, 37	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
39	24, 37	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
43	40, 41, 42	grpinvadd 13480	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
44	35, 38, 39, 43	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
45	6, 36, 7, 11	invrfvald 13954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	45	fveq1d 5590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
47	45	fveq1d 5590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊))
48	45	fveq1d 5590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌))
49	47, 48	oveq12d 5974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑌)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
51		basfn 12960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Base Fn V
52	10	elexd 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
53		funfvex 5605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	53	funfni 5384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
55	51, 52, 54	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
56	1, 55	eqeltrid 2293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
57	56, 18	ssexd 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
58		ressex 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V)
59		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))
60		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈))
61	59, 60	mgpplusgg 13756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ V → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
62	58, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑈 ∈ V) → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
63	10, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
64		eqid 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
65	64, 3	ressmulrg 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	57, 10, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
67		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
68	64, 67	mgpress 13763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
69	11, 57, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
70	69	fveq2d 5592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	63, 66, 70	3eqtr4d 2249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
72	71	oveqd 5973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
73	72	fveq2d 5592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr‘𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
74	71	oveqd 5973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr‘𝑅)‘𝑌)))
75	50, 73, 74	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
76	75	oveq2d 5972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
77	1, 3	ringcl 13845	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
78	11, 12, 23, 77	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
79	5, 3	unitmulcl 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
80	11, 13, 24, 79	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
81	2, 4, 6, 7, 9, 11, 78, 80	dvrvald 13966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
82	5, 19	unitinvcl 13955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
83	11, 24, 82	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
84	18, 83	sseldd 3198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
85	1, 3	ringass 13848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
86	11, 12, 23, 84, 85	syl13anc 1252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
87	2, 4, 6, 7, 9, 11, 23, 24	dvrvald 13966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊)))
88	87	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑊))))
89	86, 88	eqtr4d 2242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
90	89	oveq1d 5971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
91	1, 3	ringass 13848	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
92	11, 78, 84, 22, 91	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
93	1, 3	ringass 13848	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
94	11, 12, 26, 22, 93	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
95	90, 92, 94	3eqtr3rd 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr‘𝑅)‘𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))))
96	76, 81, 95	3eqtr4rd 2250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
97	32, 96	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   Fn wfn 5274  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Basecbs 12902   ↾_s cress 12903  +_gcplusg 12979  ._rcmulr 12980  Grpcgrp 13402  inv_gcminusg 13403  mulGrpcmgp 13752  SRingcsrg 13795  Ringcrg 13828  CRingccrg 13829  Unitcui 13919  inv_rcinvr 13952  /_rcdvr 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-tpos 6343  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-cmn 13692  df-abl 13693  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-srg 13796  df-ring 13830  df-cring 13831  df-oppr 13900  df-dvdsr 13921  df-unit 13922  df-invr 13953  df-dvr 13964

This theorem is referenced by: (None)