Theorem rexaddd 10150

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 10148. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexaddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexaddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rexaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rexadd 10148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℝcr 8091   + caddc 8095   +_𝑒 cxad 10066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-rnegex 8201

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-xadd 10069

This theorem is referenced by:  xpncan  10167  xleadd1a  10169  xltadd1  10172  xleaddadd  10183  xrbdtri  11916  ismet2  15165  xblss2ps  15215  vtxdgfifival  16232  vtxdgfif  16234