Theorem dvdsr01 14083

Description: In a ring, zero is divisible by all elements. ("Zero divisor" as a term has a somewhat different meaning.) (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr01	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 0 )

Proof of Theorem dvdsr01

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 13999	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4, 2	ringlz 14021	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
6		oveq1 6014	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
7	6	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 ))
8	7	rspcev 2907	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
9	3, 5, 8	syl2an2r 597	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11		dvdsr0.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
13		ringsrg 14025	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
15		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
16		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	10, 12, 14, 15, 16	dvdsr2d 14074	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 ))
18	9, 17	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  ._rcmulr 13126  0_gc0g 13304  SRingcsrg 13941  Ringcrg 13974  ∥_rcdsr 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-dvdsr 14067

This theorem is referenced by: (None)