Theorem dvdsr02 13227

Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr02	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsr0.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
5		ringsrg 13177	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
7		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
9		dvdsr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	1, 9	ring0cl 13157	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12	2, 4, 6, 8, 11	dvdsr2d 13217	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋))
13	1, 7, 9	ringrz 13176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
14	13	eqeq1d 2186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))
15		eqcom 2179	. . . . . 6 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
17	16	rexbidva 2474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
18		elex2 2753	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
19		r19.9rmv 3514	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
20	10, 18, 19	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
21	17, 20	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
23	12, 22	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  0_gc0g 12695  SRingcsrg 13099  Ringcrg 13132  ∥_rcdsr 13208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-dvdsr 13211

This theorem is referenced by: (None)