Theorem dvdsr02 14385

Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr02	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsr0.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
5		ringsrg 14325	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
9		dvdsr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	1, 9	ring0cl 14299	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12	2, 4, 6, 8, 11	dvdsr2d 14375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋))
13	1, 7, 9	ringrz 14322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
14	13	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))
15		eqcom 2240	. . . . . 6 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
17	16	rexbidva 2547	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
18		elex2 2838	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
19		r19.9rmv 3616	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
20	10, 18, 19	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
21	17, 20	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
23	12, 22	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  ._rcmulr 13409  0_gc0g 13587  SRingcsrg 14241  Ringcrg 14274  ∥_rcdsr 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-cmn 14066  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242  df-ring 14276  df-dvdsr 14368

This theorem is referenced by: (None)