Theorem ringidmlem 12998

Description: Lemma for ringlidm 12999 and ringridm 13000. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem ringidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 12978	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		rngidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	1, 4	mgpbasg 12930	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eleqtrd 2254	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
10		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
11	8, 9, 10	mndlrid 12700	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12	2, 7, 11	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
13		rngidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	1, 13	mgpplusgg 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		rngidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16	ringidvalg 12937	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
19		eqidd 2176	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = 𝑋)
20	15, 18, 19	oveq123d 5886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
21	20	eqeq1d 2184	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
22	15, 19, 18	oveq123d 5886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
23	22	eqeq1d 2184	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
24	21, 23	anbi12d 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
25	12, 24	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  +_gcplusg 12492  ._rcmulr 12493  0_gc0g 12626  Mndcmnd 12682  mulGrpcmgp 12925  1_rcur 12935  Ringcrg 12972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-mgp 12926  df-ur 12936  df-ring 12974

This theorem is referenced by:  ringlidm  12999  ringridm  13000  ringid  13002