ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringidmlem GIF version

Theorem ringidmlem 13028
Description: Lemma for ringlidm 13029 and ringridm 13030. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidmlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem ringidmlem
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 13008 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 simpr 110 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
4 rngidm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
51, 4mgpbasg 12960 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
65adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
73, 6eleqtrd 2256 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8 eqid 2177 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9 eqid 2177 . . . 4 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
10 eqid 2177 . . . 4 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
118, 9, 10mndlrid 12724 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
122, 7, 11syl2an2r 595 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
13 rngidm.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
141, 13mgpplusgg 12958 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
1514adantr 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
16 rngidm.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
171, 16ringidvalg 12967 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
1817adantr 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
19 eqidd 2178 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 = 𝑋)
2015, 18, 19oveq123d 5890 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
2120eqeq1d 2186 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
2215, 19, 18oveq123d 5890 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
2322eqeq1d 2186 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
2421, 23anbi12d 473 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
2512, 24mpbird 167 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  Basecbs 12442  +gcplusg 12515  .rcmulr 12516  0gc0g 12650  Mndcmnd 12706  mulGrpcmgp 12954  1rcur 12965  Ringcrg 13002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-sets 12449  df-plusg 12528  df-mulr 12529  df-0g 12652  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707  df-mgp 12955  df-ur 12966  df-ring 13004
This theorem is referenced by:  ringlidm  13029  ringridm  13030  ringid  13032
  Copyright terms: Public domain W3C validator