Theorem ringidmlem 13656

Description: Lemma for ringlidm 13657 and ringridm 13658. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem ringidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 13636	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		rngidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	1, 4	mgpbasg 13560	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eleqtrd 2275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
10		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
11	8, 9, 10	mndlrid 13138	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12	2, 7, 11	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
13		rngidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	1, 13	mgpplusgg 13558	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		rngidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16	ringidvalg 13595	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
19		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = 𝑋)
20	15, 18, 19	oveq123d 5946	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
21	20	eqeq1d 2205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
22	15, 19, 18	oveq123d 5946	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
23	22	eqeq1d 2205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
24	21, 23	anbi12d 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
25	12, 24	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  ._rcmulr 12783  0_gc0g 12960  Mndcmnd 13120  mulGrpcmgp 13554  1_rcur 13593  Ringcrg 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-ring 13632

This theorem is referenced by:  ringlidm  13657  ringridm  13658  ringid  13660  subrg1  13865