Theorem rnglz 13903

Description: The zero of a non-unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringlz 14001. (Revised by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglz	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablgrp 13821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4		rngcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rnglz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	grpidcl 13557	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4, 7, 5	grplid 13559	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 6, 8	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
11	10	oveq1d 6015	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
12		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
13	3, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)
14	13, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
15	14	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
16		df-3an 1004	. . . . 5 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
18		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	4, 7, 18	rngdir 13899	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
20	12, 17, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
21	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
22	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	4, 18	rngcl 13902	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	4, 7, 5	grprid 13560	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
27	26	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
28	21, 25, 27	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
29	11, 20, 28	3eqtr3d 2270	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
30	4, 7	grplcan 13590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
31	21, 25, 22, 25, 30	syl13anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
32	29, 31	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  0_gc0g 13284  Grpcgrp 13528  Abelcabl 13817  Rngcrng 13890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-abl 13819  df-mgp 13879  df-rng 13891

This theorem is referenced by:  rngmneg1  13905