Theorem rnglz 14219

Description: The zero of a non-unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringlz 14321. (Revised by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglz	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 14209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablgrp 14069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4		rngcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rnglz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	grpidcl 13811	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4, 7, 5	grplid 13813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 6, 8	syl2anc2 416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
11	10	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
12		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
13	3, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)
14	13, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
15	14	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
16		df-3an 1011	. . . . 5 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
18		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	4, 7, 18	rngdir 14215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
20	12, 17, 19	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
21	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
22	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	4, 18	rngcl 14218	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	4, 7, 5	grprid 13814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
27	26	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
28	21, 25, 27	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
29	11, 20, 28	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
30	4, 7	grplcan 13844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
31	21, 25, 22, 25, 30	syl13anc 1280	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
32	29, 31	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  0_gc0g 13587  Grpcgrp 13782  Abelcabl 14065  Rngcrng 14206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-rng 14207

This theorem is referenced by:  rngmneg1  14221