Theorem rnglz 14184

Description: The zero of a non-unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringlz 14286. (Revised by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglz	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 14174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablgrp 14042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4		rngcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rnglz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	grpidcl 13784	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4, 7, 5	grplid 13786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 6, 8	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
11	10	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
12		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
13	3, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)
14	13, 13	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
15	14	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
16		df-3an 1007	. . . . 5 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
18		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	4, 7, 18	rngdir 14180	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
20	12, 17, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
21	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
22	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	4, 18	rngcl 14183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	4, 7, 5	grprid 13787	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
27	26	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
28	21, 25, 27	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
29	11, 20, 28	3eqtr3d 2275	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
30	4, 7	grplcan 13817	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
31	21, 25, 22, 25, 30	syl13anc 1276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
32	29, 31	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  0_gc0g 13553  Grpcgrp 13755  Abelcabl 14038  Rngcrng 14171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-rng 14172

This theorem is referenced by:  rngmneg1  14186