Theorem qus2idrng 14845

Description: The quotient of a non-unital ring modulo a two-sided ideal, which is a subgroup of the additive group of the non-unital ring, is a non-unital ring (qusring 14847 analog). (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus2idrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qus2idrng.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qus2idrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem qus2idrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qus2idrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3		eqidd 2239	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqid 2238	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2238	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
9	7, 8	eqger 14010	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
11		rngabl 14217	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
12	11	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Abel)
13		ablnsg 14121	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
15	6, 14	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
16	7, 8, 4	eqgcpbl 14014	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
18		qus2idrng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
19	7, 8, 18, 5	2idlcpblrng 14843	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
20		simp1 1028	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
21	2, 3, 4, 5, 10, 17, 19, 20	qusrng 14240	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   Er wer 6798  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415   /_s cqus 13606  SubGrpcsubg 13953  NrmSGrpcnsg 13954   ~_QG cqg 13955  Abelcabl 14071  Rngcrng 14214  2Idealc2idl 14819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-0g 13595  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-oppr 14356  df-lssm 14673  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-2idl 14820

This theorem is referenced by: (None)