ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txtopon GIF version
Theorem txtopon 13765
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txtopon ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem txtopon
Dummy variables 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 13517 . . 3 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2 topontop 13517 . . 3 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
3 txtop 13763 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
41, 2, 3syl2an 289 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5 eqid 2177 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6 eqid 2177 . . . . 5 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
7 eqid 2177 . . . . 5 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
85, 6, 7txuni2 13759 . . . 4 (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
9 toponuni 13518 . . . . 5 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
10 toponuni 13518 . . . . 5 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
11 xpeq12 4646 . . . . 5 ((𝑋 = βˆͺ 𝑅 ∧ π‘Œ = βˆͺ 𝑆) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
129, 10, 11syl2an 289 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
135txbasex 13760 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
14 unitg 13565 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
1513, 14syl 14 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
168, 12, 153eqtr4a 2236 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
175txval 13758 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1817unieqd 3821 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1916, 18eqtr4d 2213 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
20 istopon 13516 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
214, 19, 20sylanbrc 417 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738  βˆͺ cuni 3810   Γ— cxp 4625  ran crn 4628  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  topGenctg 12703  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Γ—t ctx 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-tx 13756
This theorem is referenced by:  txuni  13766  tx1cn  13772  tx2cn  13773  txcnp  13774  txcnmpt  13776  txdis1cn  13781  txlm  13782  lmcn2  13783  cnmpt12  13790  cnmpt2c  13793  cnmpt21  13794  cnmpt2t  13796  cnmpt22  13797  cnmpt22f  13798  cnmpt2res  13800  cnmptcom  13801  txmetcn  14022  limccnp2lem  14148  limccnp2cntop  14149  dvcnp2cntop  14166  dvaddxxbr  14168  dvmulxxbr  14169  dvcoapbr  14174
  Copyright terms: Public domain W3C validator