ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txrest GIF version
Theorem txrest 14072
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)))
Proof of Theorem txrest
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . . . . 6 ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
21txval 14051 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
32adantr 276 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
43oveq1d 5903 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
51txbasex 14053 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
6 xpexg 4752 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
7 tgrest 13965 . . . 4 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
85, 6, 7syl2an 289 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
9 elrest 12713 . . . . . . . 8 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
105, 6, 9syl2an 289 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
11 vex 2752 . . . . . . . . . . 11 π‘Ÿ ∈ V
1211inex1 4149 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∩ 𝐴) ∈ V
1312a1i 9 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ ∩ 𝐴) ∈ V)
14 elrest 12713 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)))
1514ad2ant2r 509 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)))
16 xpeq1 4652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣))
1716eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣)))
1817rexbidv 2488 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣)))
19 vex 2752 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ V
2019inex1 4149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∩ 𝐡) ∈ V
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) ∈ V)
22 elrest 12713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)))
2322ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)))
24 xpeq2 4653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
2524eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ (π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2625adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2721, 23, 26rexxfr2d 4477 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2818, 27sylan9bbr 463 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2913, 15, 28rexxfr2d 4477 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3011, 19xpex 4753 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
3130rgen2w 2543 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
32 eqid 2187 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
33 ineq1 3341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)))
34 inxp 4773 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))
3533, 34eqtrdi 2236 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
3635eqeq2d 2199 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3732, 36rexrnmpo 6004 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
3929, 38bitr4di 198 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
4010, 39bitr4d 191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)))
4140abbi2dv 2306 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)})
42 eqid 2187 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
4342rnmpo 5999 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)}
4441, 43eqtr4di 2238 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
4544fveq2d 5531 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
464, 8, 453eqtr2d 2226 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
47 restfn 12710 . . . 4 β†Ύt Fn (V Γ— V)
48 simpll 527 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
4948elexd 2762 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ V)
50 simprl 529 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5150elexd 2762 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ V)
52 fnovex 5921 . . . 4 (( β†Ύt Fn (V Γ— V) ∧ 𝑅 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ∈ V)
5347, 49, 51, 52mp3an2i 1352 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ∈ V)
54 simplr 528 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
5554elexd 2762 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ V)
56 simprr 531 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
5756elexd 2762 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ V)
58 fnovex 5921 . . . 4 (( β†Ύt Fn (V Γ— V) ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ∈ V)
5947, 55, 57, 58mp3an2i 1352 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ∈ V)
60 eqid 2187 . . . 4 ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6160txval 14051 . . 3 (((𝑅 β†Ύt 𝐴) ∈ V ∧ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ∈ V) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6253, 59, 61syl2anc 411 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6346, 62eqtr4d 2223 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cab 2173  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  Vcvv 2749   ∩ cin 3140   Γ— cxp 4636  ran crn 4639   Fn wfn 5223  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   ∈ cmpo 5890   β†Ύt crest 12706  topGenctg 12721   Γ—t ctx 14048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-tx 14049
This theorem is referenced by:  cnmpt2res  14093  limccnp2cntop  14442
  Copyright terms: Public domain W3C validator