Theorem uhgr0 15939

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5527	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 4945	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0ss 15937	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = ∅
4	2, 3	feq23i 5477	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ∅:∅⟶∅)
5	1, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}
6		0ex 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 15907	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 15908	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isuhgrm 15925	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
13	5, 12	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  {crab 2514  Vcvv 2802  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UHGraphcuhgr 15921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-uhgrm 15923

This theorem is referenced by: (None)