Theorem uhgr0 16338

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5583	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 4995	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0ss 16336	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = ∅
4	2, 3	feq23i 5528	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ∅:∅⟶∅)
5	1, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}
6		0ex 4260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
7		vtxval0 16306	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
8	7	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
9		iedgval0 16307	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
11	8, 10	isuhgrm 16324	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
13	5, 12	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  UHGraphcuhgr 16320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-uhgrm 16322

This theorem is used by: (None)