Theorem setsiedg 16510

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13423	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		edgfndxnn 16466	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
6		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
7		setsex 13443	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∈ V)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∈ V)
9	1, 5, 6	setsn0fun 13448	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}))
10		setsvtx.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
11	1, 5, 6, 10	bassetsnn 13468	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
12		funiedgvalg 16495	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
14		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
15	14	opeq1i 3907	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ = ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩
16	15	oveq2i 6099	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)
17	16	fveq2i 5701	. . 3 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
18	17	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
19		edgfid 16464	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
20	19, 4	ndxslid 13436	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
21	20	setsslid 13462	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
22	3, 6, 21	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
23	13, 18, 22	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  {cpr 3710  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕcn 9314   Struct cstr 13407  ndxcnx 13408   sSet csts 13409  Basecbs 13411  .efcedgf 16462  iEdgciedg 16471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7028  df-dom 7029  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-edgf 16463  df-iedg 16473

This theorem is used by:  usgrstrrepeen  16689