Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooicc 42166
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x 𝑥𝜑
cncfiooicc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfiooicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
cncfiooicc.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 1908 . . 3 𝑥(𝜑𝐴 < 𝐵)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1110adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1312adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 42165 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15 limccl 24465 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
1615, 12sseldi 3963 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1716snssd 4734 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18 ssid 3987 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20 cncfss 23499 . . . . . . . 8 (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2117, 19, 20syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2221adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
233rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 12775 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
2725, 26sylan9req 2875 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
2827eqcomd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3028adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32 elsni 4576 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
3433iftrued 4473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 5141 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35syl5eq 2866 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 10661 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3837adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3916adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40 cncfdmsn 42162 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2911 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4322, 42sseldd 3966 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
4427oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4543, 44eleqtrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4645adantlr 713 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47 simpll 765 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48 eqcom 2826 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
4948biimpi 218 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
5049con3i 157 . . . . . . 7 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
5150adantl 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53 pm4.56 984 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5453biimpi 218 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5551, 52, 54syl2anc 586 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 10770 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
5955, 58mpbird 259 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60 0ss 4348 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ ℂ
61 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261cnfldtop 23384 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63 rest0 21769 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
6564eqcomi 2828 . . . . . . . . 9 {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
6661, 65, 65cncfcn 23509 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
6760, 60, 66mp2an 690 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68 cncfss 23499 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
6960, 18, 68mp2an 690 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
7067, 69eqsstrri 4000 . . . . . 6 ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
72 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
7323adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7574adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76 icc0 12778 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7872, 77mpbird 259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
7978mpteq1d 5146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
80 mpt0 6483 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅)
8271, 79, 813eqtrd 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83 0cnf 42149 . . . . . . 7 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
8482, 83syl6eqel 2919 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
8570, 84sseldi 3963 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
8678eqcomd 2825 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
8786oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8885, 87eleqtrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8947, 59, 88syl2anc 586 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9046, 89pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9114, 90pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wss 3934  c0 4289  ifcif 4465  {csn 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  fldccnfld 20537  Topctop 21493   Cn ccn 21824  cnccncf 23476   lim climc 24452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-xms 22922  df-ms 22923  df-cncf 23478  df-limc 24456
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  42167  cncfioobd  42169  itgioocnicc  42251  iblcncfioo  42252  fourierdlem73  42454  fourierdlem81  42462  fourierdlem82  42463
  Copyright terms: Public domain W3C validator