Theorem cncfiooicc 45815

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooicc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooicc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵)
2		cncfiooicc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
3		cncfiooicc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfiooicc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8		cncfiooicc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10		cncfiooicc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		cncfiooicc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
14	1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13	cncfiooicclem1 45814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15		limccl 25930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
16	15, 12	sselid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18		ssid 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20		cncfss 24944	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
21	17, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
23	3	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccid 13452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
27	25, 26	sylan9req 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
28	27	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
31	29, 30	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32		elsni 4665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
34	33	iftrued 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
35	28, 34	mpteq12dva 5255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
36	2, 35	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
37	3	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40		cncfdmsn 45811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
41	38, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
42	36, 41	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
43	22, 42	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
44	27	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
45	43, 44	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
46	45	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48		eqcom 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
50	49	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53		pm4.56 989	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
54	53	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
55	51, 52, 54	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
56	47, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	47, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	56, 57	lttrid 11428	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
59	55, 58	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60		0ss 4423	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
61		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62	61	cnfldtop 24825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63		rest0 23198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
65	64	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
66	61, 65, 65	cncfcn 24955	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
67	60, 60, 66	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68		cncfss 24944	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
69	60, 18, 68	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
70	67, 69	eqsstrri 4044	. . . . . 6 ⊢ ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
71	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
72		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
73	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74	5	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76		icc0 13455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
77	73, 75, 76	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
78	72, 77	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
79	78	mpteq1d 5261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
80		mpt0 6722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅)
82	71, 79, 81	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83		0cnf 45798	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
84	82, 83	eqeltrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
85	70, 84	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
86	78	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
87	86	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
88	85, 87	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
89	47, 59, 88	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	46, 89	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	14, 90	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920   Cn ccn 23253  –cn→ccncf 24921   lim_ℂ climc 25917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-cncf 24923  df-limc 25921

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45816  cncfioobd  45818  itgioocnicc  45898  iblcncfioo  45899  fourierdlem73  46100  fourierdlem81  46108  fourierdlem82  46109