Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfiooicc 44910
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x β„²π‘₯πœ‘
cncfiooicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
cncfiooicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfiooicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfiooicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . 3 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐡)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 44909 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 limccl 25625 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
1615, 12sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1716snssd 4813 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑅} βŠ† β„‚)
18 ssid 4005 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
20 cncfss 24640 . . . . . . . 8 (({𝑅} βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2117, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
233rexrd 11269 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 13374 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐡 β†’ (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐡))
2725, 26sylan9req 2792 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ {𝐴} = (𝐴[,]𝐡))
2827eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3028adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ {𝐴})
32 elsni 4646 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝐴)
3433iftrued 4537 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 5238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3916adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
40 cncfdmsn 44906 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4322, 42sseldd 3984 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
4427oveq1d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4543, 44eleqtrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4645adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
47 simpll 764 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ πœ‘)
48 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐡)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐴 β†’ 𝐴 = 𝐡)
5049con3i 154 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
5150adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
52 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐡)
53 pm4.56 986 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5453biimpi 215 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5551, 52, 54syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 11357 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐡 < 𝐴 ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡)))
5955, 58mpbird 256 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 < 𝐴)
60 0ss 4397 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† β„‚
61 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6261cnfldtop 24521 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
63 rest0 22894 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
6564eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 {βˆ…} = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…)
6661, 65, 65cncfcn 24651 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ βˆ… βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
6760, 60, 66mp2an 689 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…})
68 cncfss 24640 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
6960, 18, 68mp2an 689 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
7067, 69eqsstrri 4018 . . . . . 6 ({βˆ…} Cn {βˆ…}) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
72 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 < 𝐴)
7323adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 11269 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
76 icc0 13377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7872, 77mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
7978mpteq1d 5244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
80 mpt0 6693 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…)
8271, 79, 813eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = βˆ…)
83 0cnf 44893 . . . . . . 7 βˆ… ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…})
8482, 83eqeltrdi 2840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
8570, 84sselid 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
8678eqcomd 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ… = (𝐴[,]𝐡))
8786oveq1d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8885, 87eleqtrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8947, 59, 88syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9046, 89pm2.61dan 810 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9114, 90pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  β„*cxr 11252   < clt 11253  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616   Cn ccn 22949  β€“cnβ†’ccncf 24617   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-cncf 24619  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44911  cncfioobd  44913  itgioocnicc  44993  iblcncfioo  44994  fourierdlem73  45195  fourierdlem81  45203  fourierdlem82  45204
  Copyright terms: Public domain W3C validator