Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooicc 45061
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x 𝑥𝜑
cncfiooicc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfiooicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
cncfiooicc.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . 3 𝑥(𝜑𝐴 < 𝐵)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 45060 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15 limccl 25714 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
1615, 12sselid 3972 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1716snssd 4804 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18 ssid 3996 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20 cncfss 24729 . . . . . . . 8 (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2117, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
233rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 13365 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
2725, 26sylan9req 2785 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
2827eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3028adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32 elsni 4637 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
3433iftrued 4528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 5227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35eqtrid 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3916adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40 cncfdmsn 45057 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4322, 42sseldd 3975 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
4427oveq1d 7416 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4543, 44eleqtrd 2827 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4645adantlr 712 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47 simpll 764 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48 eqcom 2731 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
5049con3i 154 . . . . . . 7 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
5150adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53 pm4.56 985 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5453biimpi 215 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5551, 52, 54syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 11348 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
5955, 58mpbird 257 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60 0ss 4388 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ ℂ
61 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261cnfldtop 24610 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63 rest0 22983 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
6564eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
6661, 65, 65cncfcn 24740 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
6760, 60, 66mp2an 689 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68 cncfss 24729 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
6960, 18, 68mp2an 689 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
7067, 69eqsstrri 4009 . . . . . 6 ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
72 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
7323adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76 icc0 13368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7872, 77mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
7978mpteq1d 5233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
80 mpt0 6682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅)
8271, 79, 813eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83 0cnf 45044 . . . . . . 7 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
8482, 83eqeltrdi 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
8570, 84sselid 3972 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
8678eqcomd 2730 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
8786oveq1d 7416 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8885, 87eleqtrd 2827 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8947, 59, 88syl2anc 583 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9046, 89pm2.61dan 810 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9114, 90pm2.61dan 810 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wss 3940  c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  cr 11104  *cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  t crest 17362  TopOpenctopn 17363  fldccnfld 21223  Topctop 22705   Cn ccn 23038  cnccncf 24706   lim climc 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-xms 24136  df-ms 24137  df-cncf 24708  df-limc 25705
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45062  cncfioobd  45064  itgioocnicc  45144  iblcncfioo  45145  fourierdlem73  45346  fourierdlem81  45354  fourierdlem82  45355
  Copyright terms: Public domain W3C validator