Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooicc 40895
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x 𝑥𝜑
cncfiooicc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfiooicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
cncfiooicc.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 2013 . . 3 𝑥(𝜑𝐴 < 𝐵)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1312adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 40894 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15 limccl 24038 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
1615, 12sseldi 3825 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1716snssd 4558 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18 ssid 3848 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20 cncfss 23072 . . . . . . . 8 (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2117, 19, 20syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
2221adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
233rexrd 10406 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 12508 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
2725, 26sylan9req 2882 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
2827eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3028adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32 elsni 4414 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
3433iftrued 4314 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 4955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35syl5eq 2873 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 10385 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3837adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3916adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40 cncfdmsn 40891 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2906 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
4322, 42sseldd 3828 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
4427oveq1d 6920 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4543, 44eleqtrd 2908 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
4645adantlr 706 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47 simpll 783 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48 eqcom 2832 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
4948biimpi 208 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
5049con3i 152 . . . . . . 7 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
5150adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53 pm4.56 1016 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5453biimpi 208 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5551, 52, 54syl2anc 579 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 10494 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
5955, 58mpbird 249 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60 0ss 4197 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ ℂ
61 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261cnfldtop 22957 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63 rest0 21344 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
6564eqcomi 2834 . . . . . . . . 9 {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
6661, 65, 65cncfcn 23082 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
6760, 60, 66mp2an 683 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68 cncfss 23072 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
6960, 18, 68mp2an 683 . . . . . . 7 (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
7067, 69eqsstr3i 3861 . . . . . 6 ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
72 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
7323adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 10406 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7574adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76 icc0 12511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7872, 77mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
7978mpteq1d 4961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
80 mpt0 6254 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = ∅)
8271, 79, 813eqtrd 2865 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83 0cnf 40878 . . . . . . 7 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
8482, 83syl6eqel 2914 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
8570, 84sseldi 3825 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
8678eqcomd 2831 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
8786oveq1d 6920 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8885, 87eleqtrd 2908 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8947, 59, 88syl2anc 579 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9046, 89pm2.61dan 847 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9114, 90pm2.61dan 847 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wnf 1882  wcel 2164  wss 3798  c0 4144  ifcif 4306  {csn 4397   class class class wbr 4873  cmpt 4952  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  *cxr 10390   < clt 10391  (,)cioo 12463  [,]cicc 12466  t crest 16434  TopOpenctopn 16435  fldccnfld 20106  Topctop 21068   Cn ccn 21399  cnccncf 23049   lim climc 24025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-xms 22495  df-ms 22496  df-cncf 23051  df-limc 24029
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40896  cncfioobd  40898  itgioocnicc  40980  iblcncfioo  40981  fourierdlem73  41183  fourierdlem81  41191  fourierdlem82  41192
  Copyright terms: Public domain W3C validator