Theorem cncfiooicc 45876

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooicc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooicc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵)
2		cncfiooicc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
3		cncfiooicc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfiooicc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8		cncfiooicc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10		cncfiooicc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		cncfiooicc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
14	1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13	cncfiooicclem1 45875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15		limccl 25792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
16	15, 12	sselid 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	snssd 4763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18		ssid 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20		cncfss 24808	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
23	3	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccid 13311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
27	25, 26	sylan9req 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
28	27	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
31	29, 30	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32		elsni 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
34	33	iftrued 4486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
35	28, 34	mpteq12dva 5181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
36	2, 35	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
37	3	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40		cncfdmsn 45872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
42	36, 41	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
43	22, 42	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
44	27	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
45	43, 44	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
46	45	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
50	49	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53		pm4.56 990	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
54	53	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
55	51, 52, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
56	47, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	47, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	56, 57	lttrid 11272	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
59	55, 58	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60		0ss 4353	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
61		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62	61	cnfldtop 24687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63		rest0 23072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
65	64	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
66	61, 65, 65	cncfcn 24819	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
67	60, 60, 66	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68		cncfss 24808	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
69	60, 18, 68	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
70	67, 69	eqsstrri 3985	. . . . . 6 ⊢ ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
71	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
72		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
73	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74	5	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76		icc0 13314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
77	73, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
78	72, 77	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
79	78	mpteq1d 5185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
80		mpt0 6628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅)
82	71, 79, 81	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83		0cnf 45859	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
84	82, 83	eqeltrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
85	70, 84	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
86	78	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
87	86	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
88	85, 87	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
89	47, 59, 88	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	46, 89	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	14, 90	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269   ↾_t crest 17342  TopOpenctopn 17343  ℂ_fldccnfld 21279  Topctop 22796   Cn ccn 23127  –cn→ccncf 24785   lim_ℂ climc 25779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-xms 24224  df-ms 24225  df-cncf 24787  df-limc 25783

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45877  cncfioobd  45879  itgioocnicc  45959  iblcncfioo  45960  fourierdlem73  46161  fourierdlem81  46169  fourierdlem82  46170