Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfiooicc 44225
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x β„²π‘₯πœ‘
cncfiooicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
cncfiooicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfiooicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfiooicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . 3 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐡)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 44224 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 limccl 25262 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
1615, 12sselid 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1716snssd 4773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑅} βŠ† β„‚)
18 ssid 3970 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
20 cncfss 24285 . . . . . . . 8 (({𝑅} βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
233rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 13318 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐡 β†’ (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐡))
2725, 26sylan9req 2794 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ {𝐴} = (𝐴[,]𝐡))
2827eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3028adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ {𝐴})
32 elsni 4607 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝐴)
3433iftrued 4498 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 5198 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35eqtrid 2785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3916adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
40 cncfdmsn 44221 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4322, 42sseldd 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
4427oveq1d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4543, 44eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4645adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
47 simpll 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ πœ‘)
48 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐡)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐴 β†’ 𝐴 = 𝐡)
5049con3i 154 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
5150adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
52 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐡)
53 pm4.56 988 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5453biimpi 215 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5551, 52, 54syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 11301 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐡 < 𝐴 ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡)))
5955, 58mpbird 257 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 < 𝐴)
60 0ss 4360 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† β„‚
61 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6261cnfldtop 24170 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
63 rest0 22543 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
6564eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 {βˆ…} = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…)
6661, 65, 65cncfcn 24296 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ βˆ… βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
6760, 60, 66mp2an 691 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…})
68 cncfss 24285 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
6960, 18, 68mp2an 691 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
7067, 69eqsstrri 3983 . . . . . 6 ({βˆ…} Cn {βˆ…}) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
72 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 < 𝐴)
7323adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
76 icc0 13321 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7872, 77mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
7978mpteq1d 5204 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
80 mpt0 6647 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…)
8271, 79, 813eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = βˆ…)
83 0cnf 44208 . . . . . . 7 βˆ… ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…})
8482, 83eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
8570, 84sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
8678eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ… = (𝐴[,]𝐡))
8786oveq1d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8885, 87eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8947, 59, 88syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9046, 89pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9114, 90pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  Topctop 22265   Cn ccn 22598  β€“cnβ†’ccncf 24262   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-xms 23696  df-ms 23697  df-cncf 24264  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44226  cncfioobd  44228  itgioocnicc  44308  iblcncfioo  44309  fourierdlem73  44510  fourierdlem81  44518  fourierdlem82  44519
  Copyright terms: Public domain W3C validator