Theorem cncfiooicc 45909

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooicc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooicc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵)
2		cncfiooicc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
3		cncfiooicc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfiooicc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8		cncfiooicc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10		cncfiooicc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		cncfiooicc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
14	1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13	cncfiooicclem1 45908	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15		limccl 25910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
16	15, 12	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	snssd 4809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18		ssid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20		cncfss 24925	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
23	3	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccid 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
27	25, 26	sylan9req 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
28	27	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
31	29, 30	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32		elsni 4643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
34	33	iftrued 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
35	28, 34	mpteq12dva 5231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
36	2, 35	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
37	3	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40		cncfdmsn 45905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
42	36, 41	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
43	22, 42	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
44	27	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
45	43, 44	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
46	45	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
50	49	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53		pm4.56 991	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
54	53	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
55	51, 52, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
56	47, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	47, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	56, 57	lttrid 11399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
59	55, 58	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60		0ss 4400	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
61		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62	61	cnfldtop 24804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63		rest0 23177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
65	64	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
66	61, 65, 65	cncfcn 24936	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
67	60, 60, 66	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68		cncfss 24925	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
69	60, 18, 68	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
70	67, 69	eqsstrri 4031	. . . . . 6 ⊢ ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
71	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
72		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
73	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74	5	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76		icc0 13435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
77	73, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
78	72, 77	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
79	78	mpteq1d 5237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
80		mpt0 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅)
82	71, 79, 81	3eqtrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83		0cnf 45892	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
84	82, 83	eqeltrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
85	70, 84	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
86	78	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
87	86	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
88	85, 87	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
89	47, 59, 88	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	46, 89	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	14, 90	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  Topctop 22899   Cn ccn 23232  –cn→ccncf 24902   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cncf 24904  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45910  cncfioobd  45912  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  fourierdlem73  46194  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203