Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfiooicc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfiooicc 44908
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicc.x β„²π‘₯πœ‘
cncfiooicc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
cncfiooicc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cncfiooicc.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cncfiooicc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cncfiooicc (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem cncfiooicc
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡)
2 cncfiooicc.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
3 cncfiooicc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfiooicc.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐡)
8 cncfiooicc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10 cncfiooicc.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
12 cncfiooicc.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
141, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13cncfiooicclem1 44907 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 limccl 25624 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
1615, 12sselid 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1716snssd 4811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑅} βŠ† β„‚)
18 ssid 4003 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
20 cncfss 24639 . . . . . . . 8 (({𝑅} βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}) βŠ† ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
233rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccid 13373 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐡 β†’ (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐡))
2725, 26sylan9req 2791 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ {𝐴} = (𝐴[,]𝐡))
2827eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
29 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3028adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = {𝐴})
3129, 30eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ {𝐴})
32 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝐴)
3433iftrued 4535 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
3528, 34mpteq12dva 5236 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
362, 35eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
373recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3916adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
40 cncfdmsn 44904 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4138, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4236, 41eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝑅}))
4322, 42sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ({𝐴}–cnβ†’β„‚))
4427oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ({𝐴}–cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4543, 44eleqtrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4645adantlr 711 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
47 simpll 763 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ πœ‘)
48 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐡)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐴 β†’ 𝐴 = 𝐡)
5049con3i 154 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
5150adantl 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
52 simplr 765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐡)
53 pm4.56 985 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5453biimpi 215 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 = 𝐴 ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5551, 52, 54syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡))
5647, 5syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5747, 3syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5856, 57lttrid 11356 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐡 < 𝐴 ↔ Β¬ (𝐡 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐡)))
5955, 58mpbird 256 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 < 𝐴)
60 0ss 4395 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† β„‚
61 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6261cnfldtop 24520 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
63 rest0 22893 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…})
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…) = {βˆ…}
6564eqcomi 2739 . . . . . . . . 9 {βˆ…} = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt βˆ…)
6661, 65, 65cncfcn 24650 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ βˆ… βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
6760, 60, 66mp2an 688 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) = ({βˆ…} Cn {βˆ…})
68 cncfss 24639 . . . . . . . 8 ((βˆ… βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
6960, 18, 68mp2an 688 . . . . . . 7 (βˆ…β€“cnβ†’βˆ…) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
7067, 69eqsstrri 4016 . . . . . 6 ({βˆ…} Cn {βˆ…}) βŠ† (βˆ…β€“cnβ†’β„‚)
712a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
72 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 < 𝐴)
7323adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
745rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
76 icc0 13376 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7773, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ ((𝐴[,]𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 < 𝐴))
7872, 77mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆ…)
7978mpteq1d 5242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
80 mpt0 6691 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = βˆ…)
8271, 79, 813eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 = βˆ…)
83 0cnf 44891 . . . . . . 7 βˆ… ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…})
8482, 83eqeltrdi 2839 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ({βˆ…} Cn {βˆ…}))
8570, 84sselid 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚))
8678eqcomd 2736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ βˆ… = (𝐴[,]𝐡))
8786oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ (βˆ…β€“cnβ†’β„‚) = ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8885, 87eleqtrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8947, 59, 88syl2anc 582 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9046, 89pm2.61dan 809 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9114, 90pm2.61dan 809 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615   Cn ccn 22948  β€“cnβ†’ccncf 24616   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cncf 24618  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44909  cncfioobd  44911  itgioocnicc  44991  iblcncfioo  44992  fourierdlem73  45193  fourierdlem81  45201  fourierdlem82  45202
  Copyright terms: Public domain W3C validator