Theorem cncfiooicc 47109

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooicc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooicc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵)
2		cncfiooicc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
3		cncfiooicc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfiooicc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8		cncfiooicc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10		cncfiooicc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		cncfiooicc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
14	1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13	cncfiooicclem1 47108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15		limccl 26225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
16	15, 12	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18		ssid 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20		cncfss 25250	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
21	17, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
23	3	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccid 13548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26		oveq2 7451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
27	25, 26	sylan9req 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
28	27	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
31	29, 30	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32		elsni 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
34	33	iftrued 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
35	28, 34	mpteq12dva 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
36	2, 35	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
37	3	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40		cncfdmsn 47105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
42	36, 41	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
43	22, 42	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
44	27	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
45	43, 44	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
46	45	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
49	48	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
50	49	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
51	50	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53		pm4.56 1004	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
54	53	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
55	51, 52, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
56	47, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	47, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	56, 57	lttrid 11475	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
59	55, 58	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60		0ss 4353	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
61		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62	61	cnfldtop 25132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63		rest0 23517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
65	64	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
66	61, 65, 65	cncfcn 25261	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
67	60, 60, 66	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68		cncfss 25250	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
69	60, 18, 68	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
70	67, 69	eqsstrri 3960	. . . . . 6 ⊢ ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
71	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
72		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
73	23	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74	5	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76		icc0 13551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
77	73, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
78	72, 77	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
79	78	mpteq1d 5198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
80		mpt0 6703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅)
82	71, 79, 81	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83		0cnf 47092	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
84	82, 83	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
85	70, 84	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
86	78	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
87	86	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
88	85, 87	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
89	47, 59, 88	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	46, 89	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	14, 90	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370  (,)cioo 13503  [,]cicc 13506   ↾_t crest 17620  TopOpenctopn 17621  ℂ_fldccnfld 21708  Topctop 23241   Cn ccn 23572  –cn→ccncf 25227   lim_ℂ climc 26212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-xms 24669  df-ms 24670  df-cncf 25229  df-limc 26216

This theorem is used by:  cncfiooiccre  47110  cncfioobd  47112  itgioocnicc  47192  iblcncfioo  47193  fourierdlem73  47394  fourierdlem81  47402  fourierdlem82  47403