Theorem fsumcncf 46335

Description: The finite sum of continuous complex function is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
fsumcncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcncf.cncf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
fsumcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24769	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4		fsumcncf.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
5		resttopon 23148	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
6	3, 4, 5	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7		fsumcncf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumcncf.cncf	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		ssidd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
10		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
11	1	cnfldtop 24770	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12		unicntop 24772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
13	12	restid 17391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	eqcomi 2750	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
16	1, 10, 15	cncfcn 24899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	4, 9, 16	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	17	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19	8, 18	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20	1, 6, 7, 19	fsumcnf 45484	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	20, 17	eleqtrrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11031  Σcsu 15643   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  ℂ_fldccnfld 21351  Topctop 22880  TopOnctopon 22897   Cn ccn 23211  –cn→ccncf 24865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cncf 24867

This theorem is referenced by:  dirkeritg  46559  etransclem34  46725  etransclem43  46734