MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1m 8560
Description: Ordinal exponentiation with a base of 1. Proposition 8.31(3) of [TakeutiZaring] p. 67. Lemma 2.17 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1m (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)

Proof of Theorem oe1m
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7423 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o โˆ…))
21eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o โˆ…) = 1o))
3 oveq2 7423 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
5 oveq2 7423 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
7 oveq2 7423 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐ด))
87eqeq1d 2730 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐ด) = 1o))
9 1on 8493 . . 3 1o โˆˆ On
10 oe0 8537 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o โˆ…) = 1o)
119, 10ax-mp 5 . 2 (1o โ†‘o โˆ…) = 1o
12 oesuc 8542 . . . . 5 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
139, 12mpan 689 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
14 oveq1 7422 . . . . 5 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (1o ยทo 1o))
15 om1 8557 . . . . . 6 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (1o ยทo 1o) = 1o
1714, 16eqtrdi 2784 . . . 4 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = 1o)
1813, 17sylan9eq 2788 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o)
1918ex 412 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
20 iuneq2 5011 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o)
21 vex 3474 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
22 0lt1o 8519 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ 1o
23 oelim 8549 . . . . . . . 8 (((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ 1o) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2422, 23mpan2 690 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
259, 24mpan 689 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2621, 25mpan 689 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2730 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
28 0ellim 6427 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
29 ne0i 4331 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  โˆ…)
30 iunconst 5001 . . . . . 6 (๐‘ฅ โ‰  โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3128, 29, 303syl 18 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3231eqeq2d 2739 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
3327, 32bitr4d 282 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o))
3420, 33imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o))
352, 4, 6, 8, 11, 19, 34tfinds 7859 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057  Vcvv 3470  โˆ…c0 4319  โˆช ciun 4992  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7415  1oc1o 8474   ยทo comu 8479   โ†‘o coe 8480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-oexp 8487
This theorem is referenced by:  oewordi  8606  oeoe  8614  cantnflem2  9708
  Copyright terms: Public domain W3C validator