MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1m 8496
Description: Ordinal exponentiation with a base of 1. Proposition 8.31(3) of [TakeutiZaring] p. 67. Lemma 2.17 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1m (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)

Proof of Theorem oe1m
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o โˆ…))
21eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o โˆ…) = 1o))
3 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
5 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
7 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐ด))
87eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐ด) = 1o))
9 1on 8428 . . 3 1o โˆˆ On
10 oe0 8472 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o โˆ…) = 1o)
119, 10ax-mp 5 . 2 (1o โ†‘o โˆ…) = 1o
12 oesuc 8477 . . . . 5 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
139, 12mpan 689 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
14 oveq1 7368 . . . . 5 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (1o ยทo 1o))
15 om1 8493 . . . . . 6 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (1o ยทo 1o) = 1o
1714, 16eqtrdi 2789 . . . 4 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = 1o)
1813, 17sylan9eq 2793 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o)
1918ex 414 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
20 iuneq2 4977 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o)
21 vex 3451 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
22 0lt1o 8454 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ 1o
23 oelim 8484 . . . . . . . 8 (((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ 1o) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2422, 23mpan2 690 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
259, 24mpan 689 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2621, 25mpan 689 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2735 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
28 0ellim 6384 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
29 ne0i 4298 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  โˆ…)
30 iunconst 4967 . . . . . 6 (๐‘ฅ โ‰  โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3128, 29, 303syl 18 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3231eqeq2d 2744 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
3327, 32bitr4d 282 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o))
3420, 33imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o))
352, 4, 6, 8, 11, 19, 34tfinds 7800 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oewordi  8542  oeoe  8550  cantnflem2  9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator