MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1m 8541
Description: Ordinal exponentiation with a base of 1. Proposition 8.31(3) of [TakeutiZaring] p. 67. Lemma 2.17 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1m (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)

Proof of Theorem oe1m
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o โˆ…))
21eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o โˆ…) = 1o))
3 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
5 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
7 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐ด))
87eqeq1d 2726 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐ด) = 1o))
9 1on 8474 . . 3 1o โˆˆ On
10 oe0 8518 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o โˆ…) = 1o)
119, 10ax-mp 5 . 2 (1o โ†‘o โˆ…) = 1o
12 oesuc 8523 . . . . 5 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
139, 12mpan 687 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
14 oveq1 7409 . . . . 5 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (1o ยทo 1o))
15 om1 8538 . . . . . 6 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (1o ยทo 1o) = 1o
1714, 16eqtrdi 2780 . . . 4 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = 1o)
1813, 17sylan9eq 2784 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o)
1918ex 412 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
20 iuneq2 5007 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o)
21 vex 3470 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
22 0lt1o 8500 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ 1o
23 oelim 8530 . . . . . . . 8 (((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ 1o) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2422, 23mpan2 688 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
259, 24mpan 687 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2621, 25mpan 687 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2726 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
28 0ellim 6418 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
29 ne0i 4327 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  โˆ…)
30 iunconst 4997 . . . . . 6 (๐‘ฅ โ‰  โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3128, 29, 303syl 18 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3231eqeq2d 2735 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
3327, 32bitr4d 282 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o))
3420, 33imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o))
352, 4, 6, 8, 11, 19, 34tfinds 7843 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315  โˆช ciun 4988  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  suc csuc 6357  (class class class)co 7402  1oc1o 8455   ยทo comu 8460   โ†‘o coe 8461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468
This theorem is referenced by:  oewordi  8587  oeoe  8595  cantnflem2  9682
  Copyright terms: Public domain W3C validator