MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1m 8544
Description: Ordinal exponentiation with a base of 1. Proposition 8.31(3) of [TakeutiZaring] p. 67. Lemma 2.17 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1m (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)

Proof of Theorem oe1m
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o โˆ…))
21eqeq1d 2734 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o โˆ…) = 1o))
3 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
43eqeq1d 2734 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
5 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ))
65eqeq1d 2734 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
7 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = (1o โ†‘o ๐ด))
87eqeq1d 2734 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” (1o โ†‘o ๐ด) = 1o))
9 1on 8477 . . 3 1o โˆˆ On
10 oe0 8521 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o โˆ…) = 1o)
119, 10ax-mp 5 . 2 (1o โ†‘o โˆ…) = 1o
12 oesuc 8526 . . . . 5 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
139, 12mpan 688 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o))
14 oveq1 7415 . . . . 5 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (1o ยทo 1o))
15 om1 8541 . . . . . 6 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo 1o) = 1o)
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (1o ยทo 1o) = 1o
1714, 16eqtrdi 2788 . . . 4 ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = 1o)
1813, 17sylan9eq 2792 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o) โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o)
1918ex 413 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o suc ๐‘ฆ) = 1o))
20 iuneq2 5016 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o)
21 vex 3478 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
22 0lt1o 8503 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ 1o
23 oelim 8533 . . . . . . . 8 (((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ 1o) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2422, 23mpan2 689 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
259, 24mpan 688 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2621, 25mpan 688 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2734 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
28 0ellim 6427 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
29 ne0i 4334 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  โˆ…)
30 iunconst 5006 . . . . . 6 (๐‘ฅ โ‰  โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3128, 29, 303syl 18 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o = 1o)
3231eqeq2d 2743 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o))
3327, 32bitr4d 281 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ 1o))
3420, 33imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o โ†‘o ๐‘ฆ) = 1o โ†’ (1o โ†‘o ๐‘ฅ) = 1o))
352, 4, 6, 8, 11, 19, 34tfinds 7848 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ด) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471
This theorem is referenced by:  oewordi  8590  oeoe  8598  cantnflem2  9684
  Copyright terms: Public domain W3C validator