MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeoalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeoalem 8593
Description: Lemma for oeoa 8594. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoalem.1 ๐ด โˆˆ On
oeoalem.2 โˆ… โˆˆ ๐ด
oeoalem.3 ๐ต โˆˆ On
Assertion
Ref Expression
oeoalem (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐ถ)))

Proof of Theorem oeoalem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = (๐ต +o โˆ…))
21oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = (๐ด โ†‘o (๐ต +o โˆ…)))
3 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
43oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o โˆ…)))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โ†‘o (๐ต +o โˆ…)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o โˆ…))))
6 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = (๐ต +o ๐‘ฆ))
76oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)))
8 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
98oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
107, 9eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))))
11 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = (๐ต +o suc ๐‘ฆ))
1211oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)))
13 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
1413oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
1512, 14eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
16 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = (๐ต +o ๐ถ))
1716oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐ถ)))
18 oveq2 7414 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
1918oveq2d 7422 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐ถ)))
2017, 19eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐ถ))))
21 oeoalem.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ On
22 oeoalem.3 . . . . 5 ๐ต โˆˆ On
23 oecl 8534 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
2421, 22, 23mp2an 691 . . . 4 (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On
25 om1 8539 . . . 4 ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo 1o) = (๐ด โ†‘o ๐ต))
2624, 25ax-mp 5 . . 3 ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo 1o) = (๐ด โ†‘o ๐ต)
27 oe0 8519 . . . . 5 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o
2928oveq2i 7417 . . 3 ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o โˆ…)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo 1o)
30 oa0 8513 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต +o โˆ…) = ๐ต)
3122, 30ax-mp 5 . . . 4 (๐ต +o โˆ…) = ๐ต
3231oveq2i 7417 . . 3 (๐ด โ†‘o (๐ต +o โˆ…)) = (๐ด โ†‘o ๐ต)
3326, 29, 323eqtr4ri 2772 . 2 (๐ด โ†‘o (๐ต +o โˆ…)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o โˆ…))
34 oasuc 8521 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต +o suc ๐‘ฆ) = suc (๐ต +o ๐‘ฆ))
3534oveq2d 7422 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = (๐ด โ†‘o suc (๐ต +o ๐‘ฆ)))
36 oacl 8532 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต +o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
37 oesuc 8524 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต +o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
3821, 36, 37sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
3935, 38eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
4022, 39mpan 689 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
41 oveq1 7413 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
4240, 41sylan9eq 2793 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด))
43 oecl 8534 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
44 omass 8577 . . . . . . . . 9 (((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
4524, 21, 44mp3an13 1453 . . . . . . . 8 ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
4643, 45syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
47 oesuc 8524 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
4847oveq2d 7422 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
4946, 48eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5021, 49mpan 689 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5150adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5242, 51eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5352ex 414 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
54 vex 3479 . . . . . . . 8 ๐‘ฅ โˆˆ V
55 oalim 8529 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ))
5622, 55mpan 689 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ))
5754, 56mpan 689 . . . . . . 7 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ต +o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ))
5857oveq2d 7422 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = (๐ด โ†‘o โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ)))
59 limord 6422 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ Ord ๐‘ฅ)
60 ordelon 6386 . . . . . . . . . 10 ((Ord ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ On)
6159, 60sylan 581 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ On)
6222, 61, 36sylancr 588 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต +o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
6362ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
64 0ellim 6425 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
6564ne0d 4335 . . . . . . 7 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  โˆ…)
66 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘ค โˆˆ V
67 oeoalem.2 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ ๐ด
68 oelim 8531 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ค โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ค)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค (๐ด โ†‘o ๐‘ง))
6967, 68mpan2 690 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ค โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ค)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค (๐ด โ†‘o ๐‘ง))
7021, 69mpan 689 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ค) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค (๐ด โ†‘o ๐‘ง))
7166, 70mpan 689 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘ค โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค (๐ด โ†‘o ๐‘ง))
72 oewordi 8588 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง โŠ† ๐‘ค โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ง) โŠ† (๐ด โ†‘o ๐‘ค)))
7367, 72mpan2 690 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐‘ง โŠ† ๐‘ค โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ง) โŠ† (๐ด โ†‘o ๐‘ค)))
7421, 73mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On) โ†’ (๐‘ง โŠ† ๐‘ค โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ง) โŠ† (๐ด โ†‘o ๐‘ค)))
75743impia 1118 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On โˆง ๐‘ง โŠ† ๐‘ค) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ง) โŠ† (๐ด โ†‘o ๐‘ค))
7671, 75onoviun 8340 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)))
7754, 63, 65, 76mp3an2i 1467 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต +o ๐‘ฆ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)))
7858, 77eqtrd 2773 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)))
79 iuneq2 5016 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
8078, 79sylan9eq 2793 . . . 4 ((Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
81 oelim 8531 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
8267, 81mpan2 690 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
8321, 82mpan 689 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
8454, 83mpan 689 . . . . . . 7 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
8584oveq2d 7422 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
8621, 61, 43sylancr 588 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
8786ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
88 omlim 8530 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โˆง (๐‘ค โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง))
8924, 88mpan 689 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ค) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง))
9066, 89mpan 689 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘ค โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค) = โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ค ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง))
91 omwordi 8568 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On) โ†’ (๐‘ง โŠ† ๐‘ค โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง) โŠ† ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค)))
9224, 91mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On) โ†’ (๐‘ง โŠ† ๐‘ค โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง) โŠ† ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค)))
93923impia 1118 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ On โˆง ๐‘ค โˆˆ On โˆง ๐‘ง โŠ† ๐‘ค) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ง) โŠ† ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐‘ค))
9490, 93onoviun 8340 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
9554, 87, 65, 94mp3an2i 1467 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
9685, 95eqtrd 2773 . . . . 5 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
9796adantr 482 . . . 4 ((Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)))
9880, 97eqtr4d 2776 . . 3 ((Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)))
9998ex 414 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฆ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐‘ฅ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))))
1005, 10, 15, 20, 33, 53, 99tfinds 7846 1 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo (๐ด โ†‘o ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  (class class class)co 7406  1oc1o 8456   +o coa 8460   ยทo comu 8461   โ†‘o coe 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-oexp 8469
This theorem is referenced by:  oeoa  8594
  Copyright terms: Public domain W3C validator