Theorem limensuci 9197

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 9196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 9057	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 5264	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 9094	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		disjdifr 4430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
8		limord 6439	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
10		ordirr 6395	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
12		disjsn 4672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
14		unen 9098	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
15	7, 13, 14	mpanr12 718	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
16	3, 6, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17		0ellim 6442	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
19	4	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
20	18, 19	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
21		undif 4441	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
22	20, 21	mpbi 233	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
23		uncom 4160	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
24	22, 23	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
25		df-suc 6383	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
26	16, 24, 25	3brtr4g 5142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  Ord word 6376  Lim wlim 6378  suc csuc 6379   ≈ cen 8995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000

This theorem is used by:  limensuc  9198  infensuc  9199  omensuc  9681