Theorem limensuci 9149

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 9148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 8997	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 5306	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 9037	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		disjdifr 4471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
8		limord 6421	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
10		ordirr 6379	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
12		disjsn 4714	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
14		unen 9042	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
15	7, 13, 14	mpanr12 703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
16	3, 6, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17		0ellim 6424	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
19	4	snss 4788	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
20	18, 19	mpbi 229	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
21		undif 4480	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
22	20, 21	mpbi 229	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
23		uncom 4152	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
24	22, 23	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
25		df-suc 6367	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
26	16, 24, 25	3brtr4g 5181	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  Ord word 6360  Lim wlim 6362  suc csuc 6363   ≈ cen 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937

This theorem is referenced by:  limensuc  9150  infensuc  9151  omensuc  9647