Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 8729
 Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 8728 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 8592 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 5182 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 8626 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 689 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 incom 4109 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8 disjdif 4372 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
97, 8eqtri 2782 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10 limord 6234 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordirr 6193 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
14 disjsn 4608 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1513, 14mpbir 234 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16 unen 8630 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
179, 15, 16mpanr12 704 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
183, 6, 17syl2anc 587 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19 0ellim 6237 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
214snss 4680 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2220, 21mpbi 233 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
23 undif 4382 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2422, 23mpbi 233 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25 uncom 4061 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2624, 25eqtr3i 2784 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27 df-suc 6181 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2818, 26, 273brtr4g 5071 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∖ cdif 3858   ∪ cun 3859   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  ∅c0 4228  {csn 4526   class class class wbr 5037  Ord word 6174  Lim wlim 6176  suc csuc 6177   ≈ cen 8538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543 This theorem is referenced by:  limensuc  8730  infensuc  8731  omensuc  9166
 Copyright terms: Public domain W3C validator