Theorem limensuci 8547

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 8546	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 8415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 5109	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 8448	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		incom 4105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8		disjdif 4341	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
9	7, 8	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10		limord 6132	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
12		ordirr 6091	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
14		disjsn 4560	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
15	13, 14	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16		unen 8451	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17	9, 15, 16	mpanr12 701	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
18	3, 6, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19		0ellim 6135	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
21	4	snss 4631	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
22	20, 21	mpbi 231	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
23		undif 4350	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
24	22, 23	mpbi 231	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25		uncom 4056	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
26	24, 25	eqtr3i 2823	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27		df-suc 6079	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
28	18, 26, 27	3brtr4g 5002	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  {csn 4478   class class class wbr 4968  Ord word 6072  Lim wlim 6074  suc csuc 6075   ≈ cen 8361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366

This theorem is referenced by:  limensuc  8548  infensuc  8549  omensuc  8972