Theorem limensuci 8729

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 8728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 8592	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 5182	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 8626	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		incom 4109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8		disjdif 4372	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
9	7, 8	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10		limord 6234	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
12		ordirr 6193	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
14		disjsn 4608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
15	13, 14	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16		unen 8630	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17	9, 15, 16	mpanr12 704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
18	3, 6, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19		0ellim 6237	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
21	4	snss 4680	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
22	20, 21	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
23		undif 4382	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
24	22, 23	mpbi 233	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25		uncom 4061	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
26	24, 25	eqtr3i 2784	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27		df-suc 6181	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
28	18, 26, 27	3brtr4g 5071	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∖ cdif 3858   ∪ cun 3859   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861  ∅c0 4228  {csn 4526   class class class wbr 5037  Ord word 6174  Lim wlim 6176  suc csuc 6177   ≈ cen 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543

This theorem is referenced by:  limensuc  8730  infensuc  8731  omensuc  9166