MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 9193
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 9192 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 9045 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 9081 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 690 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 disjdifr 4473 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
8 limord 6444 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
10 ordirr 6402 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
12 disjsn 4711 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12mpbir 231 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
14 unen 9086 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
157, 13, 14mpanr12 705 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
163, 6, 15syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17 0ellim 6447 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
181, 17ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
194snss 4785 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2018, 19mpbi 230 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
21 undif 4482 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2220, 21mpbi 230 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
23 uncom 4158 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2422, 23eqtr3i 2767 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
25 df-suc 6390 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2616, 24, 253brtr4g 5177 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  Ord word 6383  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  limensuc  9194  infensuc  9195  omensuc  9696
  Copyright terms: Public domain W3C validator