Theorem limensuci 9151

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 9150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 9011	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 5261	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 9048	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		disjdifr 4427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
8		limord 6414	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
10		ordirr 6370	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
12		disjsn 4672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
14		unen 9052	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
15	7, 13, 14	mpanr12 718	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
16	3, 6, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17		0ellim 6417	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
19	4	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
20	18, 19	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
21		undif 4438	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
22	20, 21	mpbi 233	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
23		uncom 4105	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
24	22, 23	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
25		df-suc 6358	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
26	16, 24, 25	3brtr4g 5139	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  Ord word 6351  Lim wlim 6353  suc csuc 6354   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954

This theorem is used by:  limensuc  9152  infensuc  9153  omensuc  9635