MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 8681
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 8680 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 8548 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 5202 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 8581 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 686 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 incom 4175 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8 disjdif 4417 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
97, 8eqtri 2841 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10 limord 6243 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordirr 6202 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
14 disjsn 4639 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1513, 14mpbir 232 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16 unen 8584 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
179, 15, 16mpanr12 701 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
183, 6, 17syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19 0ellim 6246 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
214snss 4710 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2220, 21mpbi 231 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
23 undif 4426 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2422, 23mpbi 231 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25 uncom 4126 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2624, 25eqtr3i 2843 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27 df-suc 6190 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2818, 26, 273brtr4g 5091 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  Ord word 6183  Lim wlim 6185  suc csuc 6186  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499
This theorem is referenced by:  limensuc  8682  infensuc  8683  omensuc  9107
  Copyright terms: Public domain W3C validator