MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 9192
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 9191 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 9044 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 5313 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 9080 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 690 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 disjdifr 4479 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
8 limord 6446 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
10 ordirr 6404 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
12 disjsn 4716 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12mpbir 231 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
14 unen 9085 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
157, 13, 14mpanr12 705 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
163, 6, 15syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17 0ellim 6449 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
181, 17ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
194snss 4790 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2018, 19mpbi 230 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
21 undif 4488 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2220, 21mpbi 230 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
23 uncom 4168 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2422, 23eqtr3i 2765 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
25 df-suc 6392 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2616, 24, 253brtr4g 5182 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  Ord word 6385  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986
This theorem is referenced by:  limensuc  9193  infensuc  9194  omensuc  9694
  Copyright terms: Public domain W3C validator