MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 8343
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 8342 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 8211 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 4950 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 8244 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 681 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 incom 3967 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8 disjdif 4200 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
97, 8eqtri 2787 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10 limord 5967 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordirr 5926 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
14 disjsn 4402 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1513, 14mpbir 222 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16 unen 8247 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
179, 15, 16mpanr12 696 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
183, 6, 17syl2anc 579 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19 0ellim 5970 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
214snss 4470 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2220, 21mpbi 221 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
23 undif 4209 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2422, 23mpbi 221 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25 uncom 3919 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2624, 25eqtr3i 2789 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27 df-suc 5914 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2818, 26, 273brtr4g 4843 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  Ord word 5907  Lim wlim 5909  suc csuc 5910  cen 8157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162
This theorem is referenced by:  limensuc  8344  infensuc  8345  omensuc  8768
  Copyright terms: Public domain W3C validator