Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlimcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlimcl2 41619
Description: The product of a limit ordinal with any nonzero ordinal is a limit ordinal. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))

Proof of Theorem omlimcl2
StepHypRef Expression
1 eloni 6328 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ด)
3 ne0i 4295 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
43adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
5 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ ๐ด = โˆช ๐ด)
6 df-lim 6323 . . . . . 6 (Lim ๐ด โ†” (Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด))
76biimpri 227 . . . . 5 ((Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
82, 4, 5, 7syl2an3an 1423 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
98ex 414 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim ๐ด))
10 limelon 6382 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
1110ad3antlr 730 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
12 simpll 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1312anim1i 616 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด))
14 0ellim 6381 . . . . . . 7 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1514adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1615ad3antlr 730 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
17 omlimcl 8526 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1811, 13, 16, 17syl21anc 837 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1918ex 414 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (Lim ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
209, 19syld 47 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
21 onuni 7724 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ On)
2221, 10anim12ci 615 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
23 omcl 8483 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต))
2624, 25jca 513 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
2726ad2antrr 725 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
28 oalimcl 8508 . . . . 5 (((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
30 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ๐ด = suc โˆช ๐ด)
3130oveq2d 7374 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด))
3222ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
33 omsuc 8473 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3531, 34eqtrd 2773 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
36 limeq 6330 . . . . 5 ((๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3735, 36syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3829, 37mpbird 257 . . 3 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
3938ex 414 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = suc โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
40 orduniorsuc 7766 . . 3 (Ord ๐ด โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
412, 40syl 17 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
4220, 39, 41mpjaod 859 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4283  โˆช cuni 4866  Ord word 6317  Oncon0 6318  Lim wlim 6319  suc csuc 6320  (class class class)co 7358   +o coa 8410   ยทo comu 8411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418
This theorem is referenced by:  onexlimgt  41620  succlg  41706  dflim5  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator