Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlimcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlimcl2 42719
Description: The product of a limit ordinal with any nonzero ordinal is a limit ordinal. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))

Proof of Theorem omlimcl2
StepHypRef Expression
1 eloni 6384 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ด)
3 ne0i 4338 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
43adantl 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
5 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ ๐ด = โˆช ๐ด)
6 df-lim 6379 . . . . . 6 (Lim ๐ด โ†” (Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด))
76biimpri 227 . . . . 5 ((Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
82, 4, 5, 7syl2an3an 1419 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
98ex 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim ๐ด))
10 limelon 6438 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
1110ad3antlr 729 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
12 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1312anim1i 613 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด))
14 0ellim 6437 . . . . . . 7 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1514adantl 480 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1615ad3antlr 729 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
17 omlimcl 8607 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1811, 13, 16, 17syl21anc 836 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1918ex 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (Lim ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
209, 19syld 47 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
21 onuni 7799 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ On)
2221, 10anim12ci 612 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
23 omcl 8565 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
25 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต))
2624, 25jca 510 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
2726ad2antrr 724 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
28 oalimcl 8589 . . . . 5 (((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
30 simpr 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ๐ด = suc โˆช ๐ด)
3130oveq2d 7442 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด))
3222ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
33 omsuc 8555 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3531, 34eqtrd 2768 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
36 limeq 6386 . . . . 5 ((๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3735, 36syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3829, 37mpbird 256 . . 3 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
3938ex 411 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = suc โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
40 orduniorsuc 7841 . . 3 (Ord ๐ด โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
412, 40syl 17 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
4220, 39, 41mpjaod 858 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ…c0 4326  โˆช cuni 4912  Ord word 6373  Oncon0 6374  Lim wlim 6375  suc csuc 6376  (class class class)co 7426   +o coa 8492   ยทo comu 8493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-omul 8500
This theorem is referenced by:  onexlimgt  42720  succlg  42806  dflim5  42807
  Copyright terms: Public domain W3C validator