Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlimcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlimcl2 42567
Description: The product of a limit ordinal with any nonzero ordinal is a limit ordinal. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))

Proof of Theorem omlimcl2
StepHypRef Expression
1 eloni 6368 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ด)
3 ne0i 4329 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
43adantl 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
5 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ ๐ด = โˆช ๐ด)
6 df-lim 6363 . . . . . 6 (Lim ๐ด โ†” (Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด))
76biimpri 227 . . . . 5 ((Ord ๐ด โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
82, 4, 5, 7syl2an3an 1419 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = โˆช ๐ด) โ†’ Lim ๐ด)
98ex 412 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim ๐ด))
10 limelon 6422 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
1110ad3antlr 728 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
12 simpll 764 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1312anim1i 614 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด))
14 0ellim 6421 . . . . . . 7 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1514adantl 481 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1615ad3antlr 728 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
17 omlimcl 8579 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1811, 13, 16, 17syl21anc 835 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
1918ex 412 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (Lim ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
209, 19syld 47 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
21 onuni 7773 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ On)
2221, 10anim12ci 613 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
23 omcl 8537 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On)
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต))
2624, 25jca 511 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
2726ad2antrr 723 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)))
28 oalimcl 8561 . . . . 5 (((๐ต ยทo โˆช ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ ๐ด = suc โˆช ๐ด)
3130oveq2d 7421 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด))
3222ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On))
33 omsuc 8527 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆช ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo suc โˆช ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
3531, 34eqtrd 2766 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต))
36 limeq 6370 . . . . 5 ((๐ต ยทo ๐ด) = ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3735, 36syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ (Lim (๐ต ยทo ๐ด) โ†” Lim ((๐ต ยทo โˆช ๐ด) +o ๐ต)))
3829, 37mpbird 257 . . 3 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ด = suc โˆช ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
3938ex 412 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = suc โˆช ๐ด โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด)))
40 orduniorsuc 7815 . . 3 (Ord ๐ด โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
412, 40syl 17 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด = โˆช ๐ด โˆจ ๐ด = suc โˆช ๐ด))
4220, 39, 41mpjaod 857 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ต ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ…c0 4317  โˆช cuni 4902  Ord word 6357  Oncon0 6358  Lim wlim 6359  suc csuc 6360  (class class class)co 7405   +o coa 8464   ยทo comu 8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472
This theorem is referenced by:  onexlimgt  42568  succlg  42654  dflim5  42655
  Copyright terms: Public domain W3C validator