Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oe0suclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0suclim 42482
Description: Closed form expression of the value of ordinal exponentiation for the cases when the second ordinal is zero, a successor ordinal, or a limit ordinal. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. See oe0 8517, oesuc 8522, oe0m1 8516, and oelim 8529. (Contributed by RP, 18-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oe0suclim ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = 1o) โˆง ((๐ต = suc ๐ถ โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)) โˆง (Lim ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘)

Proof of Theorem oe0suclim
StepHypRef Expression
1 oe0 8517 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
2 oesuc 8522 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด))
3 oelim 8529 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘))
4 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
54iftrued 4528 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…) = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘))
63, 5eqtr4d 2767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))
7 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
8 0elon 6408 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ On
9 ontri1 6388 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ On) โ†’ (๐ด โІ โˆ… โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด))
10 ss0 4390 . . . . . . . . 9 (๐ด โІ โˆ… โ†’ ๐ด = โˆ…)
119, 10syl6bir 254 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ On) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ด = โˆ…))
127, 8, 11sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ด = โˆ…))
13 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
14 oe0m1 8516 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
1514biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
16 0ellim 6417 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
1715, 16impel 505 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
1913, 18sylan9eqr 2786 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
2019ex 412 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
2112, 20syld 47 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
2221imp 406 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
23 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด)
2423iffalsed 4531 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…) = โˆ…)
2522, 24eqtr4d 2767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))
266, 25pm2.61dan 810 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))
2726anassrs 467 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง Lim ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))
281, 2, 27onov0suclim 42479 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = 1o) โˆง ((๐ต = suc ๐ถ โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)) โˆง (Lim ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(โˆ… โˆˆ ๐ด, โˆช ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘), โˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314  ifcif 4520  โˆช ciun 4987  Oncon0 6354  Lim wlim 6355  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  1oc1o 8454   ยทo comu 8459   โ†‘o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-omul 8466  df-oexp 8467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator