Theorem fbfinnfr 23345

Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbfinnfr	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐹))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)))
3	2	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
4		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑆 ∈ 𝐹))
5	4	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)))
6	5	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
7		bi2.04 389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
8		ibar 530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	8	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
10	9	imbi1d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
11	7, 10	bitr4id 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
12	11	albidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
13		df-ral 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
14	12, 13	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
15		0nelfb 23335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
18	15, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ 𝐹))
19	18	necon2ad 2956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ≠ ∅))
20	19	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21		ssn0 4401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
22	21	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
23	20, 22	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
24	23	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
25		ssint 4969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
26	25	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
27		rexnal 3101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
28	26, 27	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		fbasssin 23340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
30		nssinpss 4257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦)
31		sspsstr 4106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
32	30, 31	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
33	32	expcom 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦))
34	33	reximdv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
35	29, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
36	35	3expia 1122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐹 → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦)))
37	36	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
38	28, 37	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
39		r19.29 3115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦))
40		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
41	40	imp 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
42	41	rexlimivw 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
44	43	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
45	38, 44	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
46	24, 45	pm2.61d 179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
47	14, 46	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
48	47	com12 32	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
50	3, 6, 49	findcard3 9285	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
51	50	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
52	51	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  ∅c0 4323  ∩ cint 4951  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  fBascfbas 20932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fbas 20941

This theorem is referenced by:  filfinnfr  23381