Theorem fbfinnfr 24187

Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbfinnfr	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐹))
2	1	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)))
3	2	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
4		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑆 ∈ 𝐹))
5	4	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)))
6	5	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
7		bi2.04 392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
8		ibar 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
10	9	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
11	7, 10	bitr4id 293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
12	11	albidv 1955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
13		df-ral 3081	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
14	12, 13	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
15		0nelfb 24177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
17	16	notbid 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
18	15, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ 𝐹))
19	18	necon2ad 2974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ≠ ∅))
20	19	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21		ssn0 4358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
22	21	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
23	20, 22	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
24	23	a1dd 51	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
25		ssint 4927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
26	25	notbii 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
27		rexnal 3118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
28	26, 27	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		fbasssin 24182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
30		nssinpss 4215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦)
31		sspsstr 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
32	30, 31	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
33	32	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦))
34	33	reximdv 3181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
35	29, 34	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
36	35	3expia 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐹 → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦)))
37	36	rexlimdv 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
38	28, 37	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
39		r19.29 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦))
40		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
42	41	rexlimivw 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
43	39, 42	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
44	43	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
45	38, 44	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
46	24, 45	pm2.61d 181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
47	14, 46	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
48	47	com12 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
50	3, 6, 49	findcard3 9299	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
51	50	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
52	51	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ∩ cint 4910  ‘cfv 6555  Fincfn 8998  fBascfbas 21693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fbas 21702

This theorem is used by:  filfinnfr  24223