Theorem fbfinnfr 23726

Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbfinnfr	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐹))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)))
3	2	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
4		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑆 ∈ 𝐹))
5	4	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹)))
6	5	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
7		bi2.04 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
8		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹)))
10	9	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
11	7, 10	bitr4id 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
12	11	albidv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))))
13		df-ral 3045	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
14	12, 13	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
15		0nelfb 23716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦 ∈ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ 𝐹))
19	18	necon2ad 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ≠ ∅))
20	19	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21		ssn0 4355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
22	21	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
23	20, 22	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
24	23	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
25		ssint 4914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
26	25	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
27		rexnal 3081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐹 𝑦 ⊆ 𝑧)
28	26, 27	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		fbasssin 23721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
30		nssinpss 4218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦)
31		sspsstr 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
32	30, 31	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦)
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑦))
34	33	reximdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
35	29, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
36	35	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐹 → (¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦)))
37	36	rexlimdv 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝐹 ¬ 𝑦 ⊆ 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
38	28, 37	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦))
39		r19.29 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦))
40		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
41	40	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
42	41	rexlimivw 3126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ((𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
44	43	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
45	38, 44	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑦 ⊆ ∩ 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
46	24, 45	pm2.61d 179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 (𝑥 ⊊ 𝑦 → ∩ 𝐹 ≠ ∅) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
47	14, 46	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
48	47	com12 32	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)))
50	3, 6, 49	findcard3 9172	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
51	50	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → ∩ 𝐹 ≠ ∅))
52	51	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4284  ∩ cint 4896  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  fBascfbas 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fbas 21258

This theorem is referenced by:  filfinnfr  23762