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Theorem fbfinnfr 21923
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2831 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑦𝐹))
21anbi2d 622 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹)))
32imbi1d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
4 eleq1 2831 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥𝐹𝑆𝐹))
54anbi2d 622 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹)))
65imbi1d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
7 ibar 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
87adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
98imbi1d 332 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
10 bi2.04 377 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
119, 10syl6rbbr 281 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
1211albidv 2015 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
13 df-ral 3059 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
1412, 13syl6bbr 280 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
15 0nelfb 21913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16 eleq1 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
1716notbid 309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
1815, 17syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦𝐹))
1918necon2ad 2951 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅))
2019imp 395 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21 ssn0 4137 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 𝐹𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
2221ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐹 ≠ ∅))
2320, 22syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 𝐹 ≠ ∅))
2423a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
25 ssint 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝐹 ↔ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2625notbii 311 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
27 rexnal 3140 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2826, 27bitr4i 269 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝐹 ↔ ∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧)
29 fbasssin 21918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧))
30 nssinpss 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦)
31 sspsstr 3872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥𝑦)
3230, 31sylan2b 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
3332expcom 402 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → 𝑥𝑦))
3433reximdv 3161 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3529, 34syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
36353expia 1150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑧𝐹 → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦)))
3736rexlimdv 3176 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3828, 37syl5bi 233 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
39 r19.29 3218 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))
4140imp 395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4241rexlimivw 3175 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4339, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4443expcom 402 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐹 𝑥𝑦 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4538, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
4624, 45pm2.61d 171 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4714, 46sylbid 231 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → 𝐹 ≠ ∅))
4847com12 32 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
4948a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
503, 6, 49findcard3 8409 . . 3 (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
5150com12 32 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → 𝐹 ≠ ∅))
52513impia 1145 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  cin 3730  wss 3731  wpss 3732  c0 4078   cint 4632  cfv 6067  Fincfn 8159  fBascfbas 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-om 7263  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fbas 20015
This theorem is referenced by:  filfinnfr  21959
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