MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbfinnfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbfinnfr 22133
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2869 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑦𝐹))
21anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹)))
32imbi1d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
4 eleq1 2869 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥𝐹𝑆𝐹))
54anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹)))
65imbi1d 343 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
7 ibar 529 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
87adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
98imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
10 bi2.04 389 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
119, 10syl6rbbr 291 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
1211albidv 1899 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
13 df-ral 3109 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
1412, 13syl6bbr 290 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
15 0nelfb 22123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16 eleq1 2869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
1716notbid 319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
1815, 17syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦𝐹))
1918necon2ad 2998 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅))
2019imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21 ssn0 4276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 𝐹𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
2221ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐹 ≠ ∅))
2320, 22syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 𝐹 ≠ ∅))
2423a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
25 ssint 4800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝐹 ↔ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2625notbii 321 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
27 rexnal 3201 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2826, 27bitr4i 279 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝐹 ↔ ∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧)
29 fbasssin 22128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧))
30 nssinpss 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦)
31 sspsstr 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥𝑦)
3230, 31sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
3332expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → 𝑥𝑦))
3433reximdv 3235 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3529, 34syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
36353expia 1114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑧𝐹 → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦)))
3736rexlimdv 3245 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3828, 37syl5bi 243 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
39 r19.29 3217 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))
4140imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4241rexlimivw 3244 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4339, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4443expcom 414 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐹 𝑥𝑦 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4538, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
4624, 45pm2.61d 180 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4714, 46sylbid 241 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → 𝐹 ≠ ∅))
4847com12 32 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
4948a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
503, 6, 49findcard3 8610 . . 3 (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
5150com12 32 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → 𝐹 ≠ ∅))
52513impia 1110 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wal 1520   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wral 3104  wrex 3105  cin 3860  wss 3861  wpss 3862  c0 4213   cint 4784  cfv 6228  Fincfn 8360  fBascfbas 20215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-om 7440  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fbas 20224
This theorem is referenced by:  filfinnfr  22169
  Copyright terms: Public domain W3C validator