Theorem uzfbas 24055

Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like ℕ is a filter base on ℕ, which corresponds to convergence of sequences on ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzfbas.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzfbas	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfbas.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uzrest 24054	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) = (ℤ≥ “ 𝑍))
3		zfbas 24053	. . . . 5 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)
4		0nelfb 23988	. . . . 5 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
6		imassrn 6073	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ “ 𝑍) ⊆ ran ℤ≥
7	2, 6	eqsstrdi 3981	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ⊆ ran ℤ≥)
8	7	sseld 3936	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ≥))
9	5, 8	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
10		uzssz 12878	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	1, 10	eqsstri 3983	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		trfbas2 24000	. . . 4 ⊢ ((ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍)))
13	3, 11, 12	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
14	9, 13	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
15	2, 14	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ran crn 5662   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   ↾_t crest 17468  fBascfbas 21510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-neg 11439  df-nn 12229  df-z 12587  df-uz 12858  df-rest 17470  df-fbas 21519

This theorem is referenced by:  lmflf  24162  caucfil  25442  cmetcaulem  25447