Theorem uzfbas 23401

Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like ℕ is a filter base on ℕ, which corresponds to convergence of sequences on ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzfbas.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzfbas	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfbas.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uzrest 23400	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) = (ℤ≥ “ 𝑍))
3		zfbas 23399	. . . . 5 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)
4		0nelfb 23334	. . . . 5 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
6		imassrn 6070	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ “ 𝑍) ⊆ ran ℤ≥
7	2, 6	eqsstrdi 4036	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ⊆ ran ℤ≥)
8	7	sseld 3981	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ≥))
9	5, 8	mtoi 198	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
10		uzssz 12842	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	1, 10	eqsstri 4016	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		trfbas2 23346	. . . 4 ⊢ ((ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍)))
13	3, 11, 12	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
14	9, 13	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
15	2, 14	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ran crn 5677   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821   ↾_t crest 17365  fBascfbas 20931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558  df-uz 12822  df-rest 17367  df-fbas 20940

This theorem is referenced by:  lmflf  23508  caucfil  24799  cmetcaulem  24804