MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfbas 23906
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzfbas (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uzrest 23905 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) = (ℤ𝑍))
3 zfbas 23904 . . . . 5 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
4 0nelfb 23839 . . . . 5 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
6 imassrn 6089 . . . . . 6 (ℤ𝑍) ⊆ ran ℤ
72, 6eqsstrdi 4028 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ⊆ ran ℤ)
87sseld 3982 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤt 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ))
95, 8mtoi 199 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
10 uzssz 12899 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
111, 10eqsstri 4030 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
12 trfbas2 23851 . . . 4 ((ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍)))
133, 11, 12mp2an 692 . . 3 ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
149, 13sylibr 234 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
152, 14eqeltrrd 2842 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  c0 4333  ran crn 5686  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  cz 12613  cuz 12878  t crest 17465  fBascfbas 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-rest 17467  df-fbas 21361
This theorem is referenced by:  lmflf  24013  caucfil  25317  cmetcaulem  25322
  Copyright terms: Public domain W3C validator