MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfbas 23752
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzfbas (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uzrest 23751 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) = (ℤ𝑍))
3 zfbas 23750 . . . . 5 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
4 0nelfb 23685 . . . . 5 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
6 imassrn 6063 . . . . . 6 (ℤ𝑍) ⊆ ran ℤ
72, 6eqsstrdi 4031 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ⊆ ran ℤ)
87sseld 3976 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤt 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ))
95, 8mtoi 198 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
10 uzssz 12844 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
111, 10eqsstri 4011 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
12 trfbas2 23697 . . . 4 ((ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍)))
133, 11, 12mp2an 689 . . 3 ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
149, 13sylibr 233 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
152, 14eqeltrrd 2828 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943  c0 4317  ran crn 5670  cima 5672  cfv 6536  (class class class)co 7404  cz 12559  cuz 12823  t crest 17372  fBascfbas 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-nn 12214  df-z 12560  df-uz 12824  df-rest 17374  df-fbas 21232
This theorem is referenced by:  lmflf  23859  caucfil  25161  cmetcaulem  25166
  Copyright terms: Public domain W3C validator