Theorem uzfbas 23783

Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like ℕ is a filter base on ℕ, which corresponds to convergence of sequences on ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzfbas.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzfbas	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfbas.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uzrest 23782	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) = (ℤ≥ “ 𝑍))
3		zfbas 23781	. . . . 5 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)
4		0nelfb 23716	. . . . 5 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
6		imassrn 6022	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ “ 𝑍) ⊆ ran ℤ≥
7	2, 6	eqsstrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ⊆ ran ℤ≥)
8	7	sseld 3934	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ≥))
9	5, 8	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
10		uzssz 12756	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	1, 10	eqsstri 3982	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		trfbas2 23728	. . . 4 ⊢ ((ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍)))
13	3, 11, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
14	9, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
15	2, 14	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ran crn 5620   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   ↾_t crest 17324  fBascfbas 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472  df-uz 12736  df-rest 17326  df-fbas 21258

This theorem is referenced by:  lmflf  23890  caucfil  25181  cmetcaulem  25186