Theorem uzfbas 23906

Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like ℕ is a filter base on ℕ, which corresponds to convergence of sequences on ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzfbas.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzfbas	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfbas.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uzrest 23905	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) = (ℤ≥ “ 𝑍))
3		zfbas 23904	. . . . 5 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)
4		0nelfb 23839	. . . . 5 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
6		imassrn 6089	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ “ 𝑍) ⊆ ran ℤ≥
7	2, 6	eqsstrdi 4028	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ⊆ ran ℤ≥)
8	7	sseld 3982	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ≥))
9	5, 8	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
10		uzssz 12899	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	1, 10	eqsstri 4030	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		trfbas2 23851	. . . 4 ⊢ ((ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍)))
13	3, 11, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
14	9, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
15	2, 14	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ran crn 5686   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ↾_t crest 17465  fBascfbas 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-rest 17467  df-fbas 21361

This theorem is referenced by:  lmflf  24013  caucfil  25317  cmetcaulem  25322