Theorem uzfbas 22957

Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like ℕ is a filter base on ℕ, which corresponds to convergence of sequences on ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzfbas.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzfbas	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzfbas.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uzrest 22956	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) = (ℤ≥ “ 𝑍))
3		zfbas 22955	. . . . 5 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)
4		0nelfb 22890	. . . . 5 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
6		imassrn 5969	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ “ 𝑍) ⊆ ran ℤ≥
7	2, 6	eqsstrdi 3971	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ⊆ ran ℤ≥)
8	7	sseld 3916	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ≥))
9	5, 8	mtoi 198	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
10		uzssz 12532	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	1, 10	eqsstri 3951	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		trfbas2 22902	. . . 4 ⊢ ((ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍)))
13	3, 11, 12	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤ≥ ↾t 𝑍))
14	9, 13	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤ≥ ↾t 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
15	2, 14	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ran crn 5581   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ↾_t crest 17048  fBascfbas 20498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-uz 12512  df-rest 17050  df-fbas 20507

This theorem is referenced by:  lmflf  23064  caucfil  24352  cmetcaulem  24357