MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfbas 23815
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzfbas (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uzrest 23814 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) = (ℤ𝑍))
3 zfbas 23813 . . . . 5 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
4 0nelfb 23748 . . . . 5 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
6 imassrn 6074 . . . . . 6 (ℤ𝑍) ⊆ ran ℤ
72, 6eqsstrdi 4034 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ⊆ ran ℤ)
87sseld 3979 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤt 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ))
95, 8mtoi 198 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
10 uzssz 12874 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
111, 10eqsstri 4014 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
12 trfbas2 23760 . . . 4 ((ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍)))
133, 11, 12mp2an 691 . . 3 ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
149, 13sylibr 233 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
152, 14eqeltrrd 2830 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  c0 4323  ran crn 5679  cima 5681  cfv 6548  (class class class)co 7420  cz 12589  cuz 12853  t crest 17402  fBascfbas 21267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-neg 11478  df-nn 12244  df-z 12590  df-uz 12854  df-rest 17404  df-fbas 21276
This theorem is referenced by:  lmflf  23922  caucfil  25224  cmetcaulem  25229
  Copyright terms: Public domain W3C validator