MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfbas 23922
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzfbas (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uzrest 23921 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) = (ℤ𝑍))
3 zfbas 23920 . . . . 5 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
4 0nelfb 23855 . . . . 5 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
6 imassrn 6091 . . . . . 6 (ℤ𝑍) ⊆ ran ℤ
72, 6eqsstrdi 4050 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ⊆ ran ℤ)
87sseld 3994 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤt 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ))
95, 8mtoi 199 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
10 uzssz 12897 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
111, 10eqsstri 4030 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
12 trfbas2 23867 . . . 4 ((ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍)))
133, 11, 12mp2an 692 . . 3 ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
149, 13sylibr 234 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
152, 14eqeltrrd 2840 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  c0 4339  ran crn 5690  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  cz 12611  cuz 12876  t crest 17467  fBascfbas 21370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-rest 17469  df-fbas 21379
This theorem is referenced by:  lmflf  24029  caucfil  25331  cmetcaulem  25336
  Copyright terms: Public domain W3C validator