MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ucnextcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ucnextcn 24329
Description: Extension by continuity. Theorem 2 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given an uniform space on a set 𝑋, a subset 𝐴 dense in 𝑋, and a function 𝐹 uniformly continuous from 𝐴 to 𝑌, that function can be extended by continuity to the whole 𝑋, and its extension is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ucnextcn.x 𝑋 = (Base‘𝑉)
ucnextcn.y 𝑌 = (Base‘𝑊)
ucnextcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
ucnextcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
ucnextcn.s 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
ucnextcn.t 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉s 𝐴))
ucnextcn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
ucnextcn.v (𝜑𝑉 ∈ TopSp)
ucnextcn.r (𝜑𝑉 ∈ UnifSp)
ucnextcn.w (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
ucnextcn.z (𝜑𝑊 ∈ CUnifSp)
ucnextcn.h (𝜑𝐾 ∈ Haus)
ucnextcn.a (𝜑𝐴𝑋)
ucnextcn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
ucnextcn.c (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ucnextcn (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ucnextcn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnextcn.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑉)
2 ucnextcn.y . 2 𝑌 = (Base‘𝑊)
3 ucnextcn.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
4 ucnextcn.k . 2 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
5 ucnextcn.u . 2 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
6 ucnextcn.v . 2 (𝜑𝑉 ∈ TopSp)
7 ucnextcn.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
8 ucnextcn.z . 2 (𝜑𝑊 ∈ CUnifSp)
9 ucnextcn.h . 2 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
10 ucnextcn.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
11 ucnextcn.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
12 ucnextcn.r . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ UnifSp)
13 ucnextcn.t . . . . . . 7 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉s 𝐴))
141, 13ressust 24288 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
1512, 10, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
16 cuspusp 24325 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ CUnifSp → 𝑊 ∈ UnifSp)
178, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ UnifSp)
182, 5, 4isusp 24286 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
1917, 18sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
2019simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
21 isucn 24303 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴) ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧)))))
2215, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧)))))
2311, 22mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧))))
2423simpld 494 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑌)
25 ucnextcn.c . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
2620adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
2726elfvexd 6946 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ V)
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2925adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
3028, 29eleqtrrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
311, 3istps 22956 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
326, 31sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3410adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑋)
35 trnei 23916 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3633, 34, 28, 35syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3730, 36mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
38 filfbas 23872 . . . . 5 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
4024adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝐴𝑌)
41 fmval 23967 . . . 4 ((𝑌 ∈ V ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))))
4227, 39, 40, 41syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))))
4315adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
4411adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
45 ucnextcn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
461, 45, 3isusp 24286 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ UnifSp ↔ (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
4712, 46sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
4847simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
5012adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑉 ∈ UnifSp)
516adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑉 ∈ TopSp)
521, 3, 45neipcfilu 24321 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝑉 ∈ TopSp ∧ 𝑥𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆))
5350, 51, 28, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆))
54 0nelfb 23855 . . . . . . . 8 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
5539, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
56 trcfilu 24319 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆) ∧ ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ 𝐴𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
5749, 53, 55, 34, 56syl121anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
5843elfvexd 6946 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ V)
59 ressuss 24287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑉s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
6045oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑆t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴))
6159, 13, 603eqtr4g 2800 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝑇 = (𝑆t (𝐴 × 𝐴)))
6261fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (CauFilu𝑇) = (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
6358, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (CauFilu𝑇) = (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
6457, 63eleqtrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu𝑇))
65 imaeq2 6076 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
6665cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) = (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑏))
6766rneqi 5951 . . . . 5 ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) = ran (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑏))
6843, 26, 44, 64, 67fmucnd 24317 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) ∈ (CauFilu𝑈))
69 cfilufg 24318 . . . 4 ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) ∈ (CauFilu𝑈)) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))) ∈ (CauFilu𝑈))
7026, 68, 69syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))) ∈ (CauFilu𝑈))
7142, 70eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∈ (CauFilu𝑈))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 25, 71cnextucn 24328 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  TopOnctopon 22932  TopSpctps 22954  clsccl 23042  neicnei 23121   Cn ccn 23248  Hauscha 23332  Filcfil 23869   FilMap cfm 23957  CnExtccnext 24083  UnifOncust 24224  unifTopcutop 24255  UnifStcuss 24278  UnifSpcusp 24279   Cnucucn 24300  CauFiluccfilu 24311  CUnifSpccusp 24322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-reg 23340  df-tx 23586  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cnext 24084  df-ust 24225  df-utop 24256  df-uss 24281  df-usp 24282  df-ucn 24301  df-cfilu 24312  df-cusp 24323
This theorem is referenced by:  rrhcn  33960
  Copyright terms: Public domain W3C validator