MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ucnextcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ucnextcn 24313
Description: Extension by continuity. Theorem 2 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given an uniform space on a set 𝑋, a subset 𝐴 dense in 𝑋, and a function 𝐹 uniformly continuous from 𝐴 to 𝑌, that function can be extended by continuity to the whole 𝑋, and its extension is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ucnextcn.x 𝑋 = (Base‘𝑉)
ucnextcn.y 𝑌 = (Base‘𝑊)
ucnextcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
ucnextcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
ucnextcn.s 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
ucnextcn.t 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉s 𝐴))
ucnextcn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
ucnextcn.v (𝜑𝑉 ∈ TopSp)
ucnextcn.r (𝜑𝑉 ∈ UnifSp)
ucnextcn.w (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
ucnextcn.z (𝜑𝑊 ∈ CUnifSp)
ucnextcn.h (𝜑𝐾 ∈ Haus)
ucnextcn.a (𝜑𝐴𝑋)
ucnextcn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
ucnextcn.c (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ucnextcn (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ucnextcn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnextcn.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑉)
2 ucnextcn.y . 2 𝑌 = (Base‘𝑊)
3 ucnextcn.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
4 ucnextcn.k . 2 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
5 ucnextcn.u . 2 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
6 ucnextcn.v . 2 (𝜑𝑉 ∈ TopSp)
7 ucnextcn.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
8 ucnextcn.z . 2 (𝜑𝑊 ∈ CUnifSp)
9 ucnextcn.h . 2 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
10 ucnextcn.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
11 ucnextcn.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
12 ucnextcn.r . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ UnifSp)
13 ucnextcn.t . . . . . . 7 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉s 𝐴))
141, 13ressust 24272 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
1512, 10, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
16 cuspusp 24309 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ CUnifSp → 𝑊 ∈ UnifSp)
178, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ UnifSp)
182, 5, 4isusp 24270 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
1917, 18sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
2019simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
21 isucn 24287 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴) ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧)))))
2215, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧)))))
2311, 22mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑤𝑈𝑣𝑇𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹𝑦)𝑤(𝐹𝑧))))
2423simpld 494 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑌)
25 ucnextcn.c . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
2620adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
2726elfvexd 6945 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ V)
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2925adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
3028, 29eleqtrrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
311, 3istps 22940 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
326, 31sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3410adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑋)
35 trnei 23900 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3633, 34, 28, 35syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3730, 36mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
38 filfbas 23856 . . . . 5 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
4024adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝐴𝑌)
41 fmval 23951 . . . 4 ((𝑌 ∈ V ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))))
4227, 39, 40, 41syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))))
4315adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
4411adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
45 ucnextcn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
461, 45, 3isusp 24270 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ UnifSp ↔ (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
4712, 46sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
4847simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
5012adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑉 ∈ UnifSp)
516adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑉 ∈ TopSp)
521, 3, 45neipcfilu 24305 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝑉 ∈ TopSp ∧ 𝑥𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆))
5350, 51, 28, 52syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆))
54 0nelfb 23839 . . . . . . . 8 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
5539, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
56 trcfilu 24303 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu𝑆) ∧ ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ 𝐴𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
5749, 53, 55, 34, 56syl121anc 1377 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
5843elfvexd 6945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ V)
59 ressuss 24271 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑉s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
6045oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑆t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴))
6159, 13, 603eqtr4g 2802 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝑇 = (𝑆t (𝐴 × 𝐴)))
6261fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (CauFilu𝑇) = (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
6358, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (CauFilu𝑇) = (CauFilu‘(𝑆t (𝐴 × 𝐴))))
6457, 63eleqtrrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu𝑇))
65 imaeq2 6074 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
6665cbvmptv 5255 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) = (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑏))
6766rneqi 5948 . . . . 5 ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) = ran (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑏))
6843, 26, 44, 64, 67fmucnd 24301 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) ∈ (CauFilu𝑈))
69 cfilufg 24302 . . . 4 ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎)) ∈ (CauFilu𝑈)) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))) ∈ (CauFilu𝑈))
7026, 68, 69syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹𝑎))) ∈ (CauFilu𝑈))
7142, 70eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∈ (CauFilu𝑈))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 25, 71cnextucn 24312 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938  clsccl 23026  neicnei 23105   Cn ccn 23232  Hauscha 23316  Filcfil 23853   FilMap cfm 23941  CnExtccnext 24067  UnifOncust 24208  unifTopcutop 24239  UnifStcuss 24262  UnifSpcusp 24263   Cnucucn 24284  CauFiluccfilu 24295  CUnifSpccusp 24306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-reg 23324  df-tx 23570  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-cnext 24068  df-ust 24209  df-utop 24240  df-uss 24265  df-usp 24266  df-ucn 24285  df-cfilu 24296  df-cusp 24307
This theorem is referenced by:  rrhcn  33998
  Copyright terms: Public domain W3C validator