Theorem ucnextcn 24627

Description: Extension by continuity. Theorem 2 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given an uniform space on a set 𝑋, a subset 𝐴 dense in 𝑋, and a function 𝐹 uniformly continuous from 𝐴 to 𝑌, that function can be extended by continuity to the whole 𝑋, and its extension is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ucnextcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑉)
ucnextcn.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑊)
ucnextcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
ucnextcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
ucnextcn.s	⊢ 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
ucnextcn.t	⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉 ↾s 𝐴))
ucnextcn.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
ucnextcn.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ TopSp)
ucnextcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ UnifSp)
ucnextcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
ucnextcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CUnifSp)
ucnextcn.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
ucnextcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
ucnextcn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
ucnextcn.c	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ucnextcn	⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ucnextcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ucnextcn.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑉)
2		ucnextcn.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑊)
3		ucnextcn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑉)
4		ucnextcn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑊)
5		ucnextcn.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝑊)
6		ucnextcn.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ TopSp)
7		ucnextcn.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
8		ucnextcn.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CUnifSp)
9		ucnextcn.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
10		ucnextcn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
11		ucnextcn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
12		ucnextcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ UnifSp)
13		ucnextcn.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑉 ↾s 𝐴))
14	1, 13	ressust 24587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
15	12, 10, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
16		cuspusp 24623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ CUnifSp → 𝑊 ∈ UnifSp)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ UnifSp)
18	2, 5, 4	isusp 24585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ 𝐾 = (unifTop‘𝑈)))
20	19	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
21		isucn 24601	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴) ∧ 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑌 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹‘𝑦)𝑤(𝐹‘𝑧)))))
22	15, 20, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑌 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹‘𝑦)𝑤(𝐹‘𝑧)))))
23	11, 22	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑌 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 → (𝐹‘𝑦)𝑤(𝐹‘𝑧))))
24	23	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑌)
25		ucnextcn.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
26	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌))
27	26	elfvexd 6921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ V)
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
29	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝑋)
30	28, 29	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
31	1, 3	istps 23257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
32	6, 31	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
35		trnei 24216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
36	33, 34, 28, 35	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
37	30, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
38		filfbas 24172	. . . . 5 ⊢ ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
40	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝐴⟶𝑌)
41		fmval 24267	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎))))
42	27, 39, 40, 41	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎))))
43	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
44	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑇 Cnu𝑈))
45		ucnextcn.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (UnifSt‘𝑉)
46	1, 45, 3	isusp 24585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ UnifSp ↔ (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
47	12, 46	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐽 = (unifTop‘𝑆)))
48	47	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋))
50	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ UnifSp)
51	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ TopSp)
52	1, 3, 45	neipcfilu 24619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝑉 ∈ TopSp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu‘𝑆))
53	50, 51, 28, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu‘𝑆))
54		0nelfb 24155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
55	39, 54	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
56		trcfilu 24617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (CauFilu‘𝑆) ∧ ¬ ∅ ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴))))
57	49, 53, 55, 34, 56	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘(𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴))))
58	43	elfvexd 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
59		ressuss 24586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑉 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
60	45	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑉) ↾t (𝐴 × 𝐴))
61	59, 13, 60	3eqtr4g 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝑇 = (𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴)))
62	61	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (CauFilu‘𝑇) = (CauFilu‘(𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴))))
63	58, 62	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (CauFilu‘𝑇) = (CauFilu‘(𝑆 ↾t (𝐴 × 𝐴))))
64	57, 63	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (CauFilu‘𝑇))
65		imaeq2 6047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹 “ 𝑎) = (𝐹 “ 𝑏))
66	65	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎)) = (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑏))
67	66	rneqi 5918	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎)) = ran (𝑏 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑏))
68	43, 26, 44, 64, 67	fmucnd 24615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎)) ∈ (CauFilu‘𝑈))
69		cfilufg 24616	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑌) ∧ ran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎)) ∈ (CauFilu‘𝑈)) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎))) ∈ (CauFilu‘𝑈))
70	26, 68, 69	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑌filGenran (𝑎 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↦ (𝐹 “ 𝑎))) ∈ (CauFilu‘𝑈))
71	42, 70	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∈ (CauFilu‘𝑈))
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 25, 71	cnextucn 24626	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413   ↾_t crest 17596  TopOpenctopn 17597  fBascfbas 21671  filGencfg 21672  TopOnctopon 23233  TopSpctps 23255  clsccl 23341  neicnei 23420   Cn ccn 23547  Hauscha 23631  Filcfil 24169   FilMap cfm 24257  CnExtccnext 24383  UnifOncust 24524  unifTopcutop 24554  UnifStcuss 24577  UnifSpcusp 24578   Cn_ucucn 24598  CauFil_uccfilu 24609  CUnifSpccusp 24620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fi 9406  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-unif 17456  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-reg 23639  df-tx 23886  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-cnext 24384  df-ust 24525  df-utop 24555  df-uss 24580  df-usp 24581  df-ucn 24599  df-cfilu 24610  df-cusp 24621

This theorem is used by:  rrhcn  34675