MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ucnextcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ucnextcn 23809
Description: Extension by continuity. Theorem 2 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given an uniform space on a set 𝑋, a subset 𝐴 dense in 𝑋, and a function 𝐹 uniformly continuous from 𝐴 to π‘Œ, that function can be extended by continuity to the whole 𝑋, and its extension is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ucnextcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‰)
ucnextcn.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘Š)
ucnextcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‰)
ucnextcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
ucnextcn.s 𝑆 = (UnifStβ€˜π‘‰)
ucnextcn.t 𝑇 = (UnifStβ€˜(𝑉 β†Ύs 𝐴))
ucnextcn.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
ucnextcn.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ TopSp)
ucnextcn.r (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ UnifSp)
ucnextcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
ucnextcn.z (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CUnifSp)
ucnextcn.h (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
ucnextcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
ucnextcn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 Cnuπ‘ˆ))
ucnextcn.c (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
ucnextcn (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem ucnextcn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnextcn.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‰)
2 ucnextcn.y . 2 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘Š)
3 ucnextcn.j . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‰)
4 ucnextcn.k . 2 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
5 ucnextcn.u . 2 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
6 ucnextcn.v . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ TopSp)
7 ucnextcn.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
8 ucnextcn.z . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CUnifSp)
9 ucnextcn.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
10 ucnextcn.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
11 ucnextcn.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 Cnuπ‘ˆ))
12 ucnextcn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ UnifSp)
13 ucnextcn.t . . . . . . 7 𝑇 = (UnifStβ€˜(𝑉 β†Ύs 𝐴))
141, 13ressust 23768 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
1512, 10, 14syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
16 cuspusp 23805 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ CUnifSp β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
178, 16syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
182, 5, 4isusp 23766 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ UnifSp ↔ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐾 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)))
1917, 18sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐾 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)))
2019simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
21 isucn 23783 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (UnifOnβ€˜π΄) ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑇 Cnuπ‘ˆ) ↔ (𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦)𝑀(πΉβ€˜π‘§)))))
2215, 20, 21syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑇 Cnuπ‘ˆ) ↔ (𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦)𝑀(πΉβ€˜π‘§)))))
2311, 22mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦𝑣𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦)𝑀(πΉβ€˜π‘§))))
2423simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ)
25 ucnextcn.c . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
2620adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
2726elfvexd 6931 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ V)
28 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2925adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
3028, 29eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
311, 3istps 22436 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
326, 31sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3332adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3410adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
35 trnei 23396 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3633, 34, 28, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3730, 36mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
38 filfbas 23352 . . . . 5 ((((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
4024adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ)
41 fmval 23447 . . . 4 ((π‘Œ ∈ V ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (π‘ŒfilGenran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))))
4227, 39, 40, 41syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (π‘ŒfilGenran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))))
4315adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
4411adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 Cnuπ‘ˆ))
45 ucnextcn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (UnifStβ€˜π‘‰)
461, 45, 3isusp 23766 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ UnifSp ↔ (𝑆 ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘†)))
4712, 46sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘†)))
4847simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
5012adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑉 ∈ UnifSp)
516adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑉 ∈ TopSp)
521, 3, 45neipcfilu 23801 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ UnifSp ∧ 𝑉 ∈ TopSp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘†))
5350, 51, 28, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘†))
54 0nelfb 23335 . . . . . . . 8 ((((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))
5539, 54syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))
56 trcfilu 23799 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘†) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
5749, 53, 55, 34, 56syl121anc 1376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
5843elfvexd 6931 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
59 ressuss 23767 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (UnifStβ€˜(𝑉 β†Ύs 𝐴)) = ((UnifStβ€˜π‘‰) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
6045oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((UnifStβ€˜π‘‰) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))
6159, 13, 603eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ 𝑇 = (𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
6261fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (CauFiluβ€˜π‘‡) = (CauFiluβ€˜(𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
6358, 62syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (CauFiluβ€˜π‘‡) = (CauFiluβ€˜(𝑆 β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
6457, 63eleqtrrd 2837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜π‘‡))
65 imaeq2 6056 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑏))
6665cbvmptv 5262 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ 𝑏))
6766rneqi 5937 . . . . 5 ran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) = ran (𝑏 ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ 𝑏))
6843, 26, 44, 64, 67fmucnd 23797 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
69 cfilufg 23798 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘ŒfilGenran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
7026, 68, 69syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘ŒfilGenran (π‘Ž ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
7142, 70eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 25, 71cnextucn 23808 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  TopOnctopon 22412  TopSpctps 22434  clsccl 22522  neicnei 22601   Cn ccn 22728  Hauscha 22812  Filcfil 23349   FilMap cfm 23437  CnExtccnext 23563  UnifOncust 23704  unifTopcutop 23735  UnifStcuss 23758  UnifSpcusp 23759   Cnucucn 23780  CauFiluccfilu 23791  CUnifSpccusp 23802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-reg 22820  df-tx 23066  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cnext 23564  df-ust 23705  df-utop 23736  df-uss 23761  df-usp 23762  df-ucn 23781  df-cfilu 23792  df-cusp 23803
This theorem is referenced by:  rrhcn  32977
  Copyright terms: Public domain W3C validator