MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subm 18769
Description: The zero submonoid of an arbitrary monoid. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
0subm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0subm (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))

Proof of Theorem 0subm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 0subm.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
31, 2mndidcl 18709 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
43snssd 4813 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
52fvexi 6911 . . . 4 0 ∈ V
65snid 4665 . . 3 0 ∈ { 0 }
76a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ { 0 })
8 velsn 4645 . . . . 5 (π‘Ž ∈ { 0 } ↔ π‘Ž = 0 )
9 velsn 4645 . . . . 5 (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
108, 9anbi12i 627 . . . 4 ((π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ))
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
121, 11, 2mndlid 18714 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
133, 12mpdan 686 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
14 ovex 7453 . . . . . . 7 ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ V
1514elsn 4644 . . . . . 6 (( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
1613, 15sylibr 233 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 })
17 oveq12 7429 . . . . . 6 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ))
1817eleq1d 2814 . . . . 5 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 }))
1916, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 }))
2010, 19biimtrid 241 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 }))
2120ralrimivv 3195 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 }βˆ€π‘ ∈ { 0 } (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 })
221, 2, 11issubm 18755 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ({ 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ({ 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ { 0 } ∧ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 }βˆ€π‘ ∈ { 0 } (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 })))
234, 7, 21, 22mpbir3and 1340 1 (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947  {csn 4629  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  Mndcmnd 18694  SubMndcsubmnd 18739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741
This theorem is referenced by:  idressubmefmnd  18850  0subg  19106  0subgALT  19523
  Copyright terms: Public domain W3C validator