MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subm 18633
Description: The zero submonoid of an arbitrary monoid. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
0subm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0subm (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))

Proof of Theorem 0subm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 0subm.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
31, 2mndidcl 18576 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
43snssd 4770 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
52fvexi 6857 . . . 4 0 ∈ V
65snid 4623 . . 3 0 ∈ { 0 }
76a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ { 0 })
8 velsn 4603 . . . . 5 (π‘Ž ∈ { 0 } ↔ π‘Ž = 0 )
9 velsn 4603 . . . . 5 (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
108, 9anbi12i 628 . . . 4 ((π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
121, 11, 2mndlid 18581 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
133, 12mpdan 686 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
14 ovex 7391 . . . . . . 7 ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ V
1514elsn 4602 . . . . . 6 (( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) = 0 )
1613, 15sylibr 233 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 })
17 oveq12 7367 . . . . . 6 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ))
1817eleq1d 2819 . . . . 5 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+gβ€˜πΊ) 0 ) ∈ { 0 }))
1916, 18syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 }))
2010, 19biimtrid 241 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 }))
2120ralrimivv 3192 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 }βˆ€π‘ ∈ { 0 } (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 })
221, 2, 11issubm 18619 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ({ 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ({ 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ { 0 } ∧ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 }βˆ€π‘ ∈ { 0 } (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ { 0 })))
234, 7, 21, 22mpbir3and 1343 1 (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  idressubmefmnd  18713  0subg  18958  0subgALT  19355
  Copyright terms: Public domain W3C validator