Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subg 18371
 Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
0subg.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
0subg (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 0subg.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18198 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
43snssd 4699 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
52fvexi 6672 . . . 4 0 ∈ V
65snnz 4669 . . 3 { 0 } ≠ ∅
76a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
8 eqid 2758 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
91, 8, 2grplid 18200 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
103, 9mpdan 686 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
11 ovex 7183 . . . . 5 ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ V
1211elsn 4537 . . . 4 (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1310, 12sylibr 237 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
14 eqid 2758 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
152, 14grpinvid 18227 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
16 fvex 6671 . . . . 5 ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ V
1716elsn 4537 . . . 4 (((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1815, 17sylibr 237 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
19 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ( 0 (+g𝐺)𝑏))
2019eleq1d 2836 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
2120ralbidv 3126 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
22 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → ( 0 (+g𝐺)𝑏) = ( 0 (+g𝐺) 0 ))
2322eleq1d 2836 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → (( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
245, 23ralsn 4576 . . . . . 6 (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
2521, 24bitrdi 290 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
26 fveq2 6658 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((invg𝐺)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘ 0 ))
2726eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
2825, 27anbi12d 633 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
295, 28ralsn 4576 . . 3 (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
3013, 18, 29sylanbrc 586 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
311, 8, 14issubg2 18361 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
324, 7, 30, 31mpbir3and 1339 1 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  0gc0g 16771  Grpcgrp 18169  invgcminusg 18170  SubGrpcsubg 18340 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343 This theorem is referenced by:  0nsg  18388  idressubgsymg  18605  pgp0  18788  slwn0  18807  lsm01  18864  lsm02  18865  dprdz  19220  dprdsn  19226  pgpfac1lem5  19269  tgptsmscls  22850  evpmsubg  30940
 Copyright terms: Public domain W3C validator