Theorem 0subg 19183

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18972	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subm 18841	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	2, 5	grpinvid 19031	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
7		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ V
8	7	elsn 4594	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
9	6, 8	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
10	2	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
12	11	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
13	10, 12	ralsn 4637	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
14	9, 13	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })
15	5	issubg3 19176	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })))
16	4, 14, 15	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {csn 4579  ‘cfv 6515  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18758  SubMndcsubmnd 18806  Grpcgrp 18965  inv_gcminusg 18966  SubGrpcsubg 19152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155

This theorem is referenced by:  0nsg  19200  eqg0subg  19227  qus0subgadd  19230  idressubgsymg  19440  pgp0  19626  slwn0  19645  lsm01  19701  lsm02  19702  dprdz  20062  dprdsn  20068  pgpfac1lem5  20111  tgptsmscls  24197  evpmsubg  33287