MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subg 19105
Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
0subg.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0subg (𝐺 ∈ Grp β†’ { 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem 0subg
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18896 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2 0subg.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
320subm 18768 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
41, 3syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ { 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 eqid 2728 . . . . 5 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
62, 5grpinvid 18955 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) = 0 )
7 fvex 6910 . . . . 5 ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) ∈ V
87elsn 4644 . . . 4 (((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) = 0 )
96, 8sylibr 233 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) ∈ { 0 })
102fvexi 6911 . . . 4 0 ∈ V
11 fveq2 6897 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ))
1211eleq1d 2814 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) ∈ { 0 } ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) ∈ { 0 }))
1310, 12ralsn 4686 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ { 0 } ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) ∈ { 0 } ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜ 0 ) ∈ { 0 })
149, 13sylibr 233 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 } ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) ∈ { 0 })
155issubg3 19098 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ ({ 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ ({ 0 } ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ { 0 } ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) ∈ { 0 })))
164, 14, 15mpbir2and 712 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ { 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {csn 4629  β€˜cfv 6548  0gc0g 17420  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738  Grpcgrp 18889  invgcminusg 18890  SubGrpcsubg 19074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077
This theorem is referenced by:  0nsg  19123  eqg0subg  19150  qus0subgadd  19153  idressubgsymg  19364  pgp0  19550  slwn0  19569  lsm01  19625  lsm02  19626  dprdz  19986  dprdsn  19992  pgpfac1lem5  20035  tgptsmscls  24053  evpmsubg  32868
  Copyright terms: Public domain W3C validator