Theorem 0subgALT 19586

Description: A shorter proof of 0subg 19169 using df-od 19546. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subgALT.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgALT	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgALT

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpmnd 18958	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
4		0subgALT.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	4	0subm 18830	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
7	1, 4	od1 19577	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((od‘𝐺)‘ 0 ) = 1)
8		1nn 12277	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
9	7, 8	eqeltrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ)
10	4	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((od‘𝐺)‘𝑎) = ((od‘𝐺)‘ 0 ))
12	11	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ ↔ ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ))
13	10, 12	ralsn 4681	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ ↔ ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ)
14	9, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
15	1, 2, 6, 14	finodsubmsubg 19585	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {csn 4626  ‘cfv 6561  1c1 11156  ℕcn 12266  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  odcod 19542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-od 19546

This theorem is referenced by: (None)