Theorem 0subgALT 19497

Description: A shorter proof of 0subg 19081 using df-od 19457. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subgALT.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgALT	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgALT

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpmnd 18870	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
4		0subgALT.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	4	0subm 18742	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
7	1, 4	od1 19488	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((od‘𝐺)‘ 0 ) = 1)
8		1nn 12156	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
9	7, 8	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ)
10	4	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((od‘𝐺)‘𝑎) = ((od‘𝐺)‘ 0 ))
12	11	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ ↔ ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ))
13	10, 12	ralsn 4638	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ ↔ ((od‘𝐺)‘ 0 ) ∈ ℕ)
14	9, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
15	1, 2, 6, 14	finodsubmsubg 19496	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {csn 4580  ‘cfv 6492  1c1 11027  ℕcn 12145  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18707  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050  odcod 19453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-od 19457

This theorem is referenced by: (None)