Theorem canth2g 9099

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canth2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4568	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2		breq12 5104	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4		vex 3457	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	canth2 9098	. 2 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
6	3, 5	vtoclg 3521	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099   ≺ csdm 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926

This theorem is referenced by:  2pwuninel  9100  2pwne  9101  djulepw  10146  isfin32i  10319  fin34  10344  hsmexlem1  10380  canth3  10515  ondomon  10517  gchdomtri  10584  canthp1lem1  10607  canthp1lem2  10608  pwfseqlem5  10618  gchdjuidm  10623  gchxpidm  10624  gchpwdom  10625  gchaclem  10633  gchhar  10634  tsksdom  10711  fisdomnn  42824