Theorem canth2g 9055

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canth2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4567	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2		breq12 5100	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4		vex 3442	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	canth2 9054	. 2 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
6	3, 5	vtoclg 3511	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095   ≺ csdm 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882

This theorem is referenced by:  2pwuninel  9056  2pwne  9057  djulepw  10106  isfin32i  10278  fin34  10303  hsmexlem1  10339  canth3  10474  ondomon  10476  gchdomtri  10542  canthp1lem1  10565  canthp1lem2  10566  pwfseqlem5  10576  gchdjuidm  10581  gchxpidm  10582  gchpwdom  10583  gchaclem  10591  gchhar  10592  tsksdom  10669  fisdomnn  42217