Theorem canth2g 9060

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canth2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4556	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2		breq12 5091	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4		vex 3434	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	canth2 9059	. 2 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
6	3, 5	vtoclg 3500	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ≺ csdm 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887

This theorem is referenced by:  2pwuninel  9061  2pwne  9062  djulepw  10104  isfin32i  10276  fin34  10301  hsmexlem1  10337  canth3  10472  ondomon  10474  gchdomtri  10541  canthp1lem1  10564  canthp1lem2  10565  pwfseqlem5  10575  gchdjuidm  10580  gchxpidm  10581  gchpwdom  10582  gchaclem  10590  gchhar  10591  tsksdom  10668  fisdomnn  42675