Theorem canth2g 8655

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canth2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4513	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2		breq12 5035	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4		vex 3444	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	canth2 8654	. 2 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
6	3, 5	vtoclg 3515	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ≺ csdm 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495

This theorem is referenced by:  2pwuninel  8656  2pwne  8657  pwfi  8803  djulepw  9603  isfin32i  9776  fin34  9801  hsmexlem1  9837  canth3  9972  ondomon  9974  gchdomtri  10040  canthp1lem1  10063  canthp1lem2  10064  pwfseqlem5  10074  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchaclem  10089  gchhar  10090  tsksdom  10167