Theorem abs0 15257

Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs0	⊢ (abs‘0) = 0

Proof of Theorem abs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11172	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		absval 15210	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0)))
4	1	cjcli 15141	. . . 4 ⊢ (∗‘0) ∈ ℂ
5	4	mul02i 11369	. . 3 ⊢ (0 · (∗‘0)) = 0
6	5	fveq2i 6863	. 2 ⊢ (√‘(0 · (∗‘0))) = (√‘0)
7		sqrt0 15213	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2757	1 ⊢ (abs‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074   · cmul 11079  ∗ccj 15068  √csqrt 15205  abscabs 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208

This theorem is referenced by:  abs00  15261  abs1m  15308  climconst  15515  rlimconst  15516  fsumabs  15773  georeclim  15844  geoisumr  15850  dvdsabseq  16289  gcd0id  16495  lcmid  16585  4sqlem19  16940  absabv  21347  gzrngunit  21356  zringunit  21382  aannenlem2  26243  aalioulem3  26248  tanabsge  26421  sinkpi  26437  sineq0  26439  isosctrlem2  26735  lgamgulmlem1  26945  ftalem3  26991  mule1  27064  zabsle1  27213  lgslem2  27215  lgsfcl2  27220  bcsiALT  31114  0cnfn  31915  nmfn0  31922  nmophmi  31966  nmcfnexi  31986  dnizeq0  36458  unbdqndv2lem2  36493  mblfinlem2  37647  ftc1anclem7  37688  ftc1anclem8  37689  ftc1anc  37690  dvgrat  44294  radcnvrat  44296  sineq0ALT  44919  constlimc  45615  0cnv  45733  mod2addne  47355