Theorem abs0 15362

Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs0	⊢ (abs‘0) = 0

Proof of Theorem abs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11215	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		absval 15315	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0)))
4	1	cjcli 15246	. . . 4 ⊢ (∗‘0) ∈ ℂ
5	4	mul02i 11416	. . 3 ⊢ (0 · (∗‘0)) = 0
6	5	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (√‘(0 · (∗‘0))) = (√‘0)
7		sqrt0 15318	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2792	1 ⊢ (abs‘0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117   · cmul 11122  ∗ccj 15173  √csqrt 15310  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  abs00  15366  abs1m  15413  climconst  15620  rlimconst  15621  fsumabs  15878  georeclim  15951  geoisumr  15957  dvdsabseq  16395  gcd0id  16601  lcmid  16691  4sqlem19  17047  absabv  21626  gzrngunit  21635  zringunit  21668  aannenlem2  26545  aalioulem3  26550  tanabsge  26724  sinkpi  26740  sineq0  26742  isosctrlem2  27037  lgamgulmlem1  27246  ftalem3  27292  mule1  27365  zabsle1  27513  lgslem2  27515  lgsfcl2  27520  bcsiALT  31604  0cnfn  32405  nmfn0  32412  nmophmi  32456  nmcfnexi  32476  dnizeq0  37123  unbdqndv2lem2  37158  mblfinlem2  38368  ftc1anclem7  38409  ftc1anclem8  38410  ftc1anc  38411  dvgrat  45082  radcnvrat  45084  sineq0ALT  45705  constlimc  46400  0cnv  46516  mod2addne  48167