Theorem abs0 14509

Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs0	⊢ (abs‘0) = 0

Proof of Theorem abs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10433	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		absval 14461	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0)))
4	1	cjcli 14392	. . . 4 ⊢ (∗‘0) ∈ ℂ
5	4	mul02i 10631	. . 3 ⊢ (0 · (∗‘0)) = 0
6	5	fveq2i 6504	. 2 ⊢ (√‘(0 · (∗‘0))) = (√‘0)
7		sqrt0 14465	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2806	1 ⊢ (abs‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℂcc 10335  0cc0 10337   · cmul 10342  ∗ccj 14319  √csqrt 14456  abscabs 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459

This theorem is referenced by:  abs00  14513  abs1m  14559  climconst  14764  rlimconst  14765  fsumabs  15019  georeclim  15091  geoisumr  15097  dvdsabseq  15526  gcd0id  15730  lcmid  15812  4sqlem19  16158  absabv  20307  gzrngunit  20316  zringunit  20340  aannenlem2  24624  aalioulem3  24629  tanabsge  24798  sinkpi  24813  sineq0  24815  isosctrlem2  25101  lgamgulmlem1  25311  ftalem3  25357  mule1  25430  zabsle1  25577  lgslem2  25579  lgsfcl2  25584  bcsiALT  28738  0cnfn  29541  nmfn0  29548  nmophmi  29592  nmcfnexi  29612  dnizeq0  33334  unbdqndv2lem2  33369  mblfinlem2  34371  ftc1anclem7  34414  ftc1anclem8  34415  ftc1anc  34416  dvgrat  40060  radcnvrat  40062  sineq0ALT  40690  constlimc  41337  0cnv  41455