Theorem abs0 15285

Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs0	⊢ (abs‘0) = 0

Proof of Theorem abs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11247	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		absval 15238	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0)))
4	1	cjcli 15169	. . . 4 ⊢ (∗‘0) ∈ ℂ
5	4	mul02i 11444	. . 3 ⊢ (0 · (∗‘0)) = 0
6	5	fveq2i 6896	. 2 ⊢ (√‘(0 · (∗‘0))) = (√‘0)
7		sqrt0 15241	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2758	1 ⊢ (abs‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  0cc0 11149   · cmul 11154  ∗ccj 15096  √csqrt 15233  abscabs 15234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236

This theorem is referenced by:  abs00  15289  abs1m  15335  climconst  15540  rlimconst  15541  fsumabs  15800  georeclim  15871  geoisumr  15877  dvdsabseq  16310  gcd0id  16514  lcmid  16605  4sqlem19  16960  absabv  21417  gzrngunit  21426  zringunit  21452  aannenlem2  26354  aalioulem3  26359  tanabsge  26531  sinkpi  26546  sineq0  26548  isosctrlem2  26844  lgamgulmlem1  27054  ftalem3  27100  mule1  27173  zabsle1  27322  lgslem2  27324  lgsfcl2  27329  bcsiALT  31109  0cnfn  31910  nmfn0  31917  nmophmi  31961  nmcfnexi  31981  dnizeq0  36191  unbdqndv2lem2  36226  mblfinlem2  37372  ftc1anclem7  37413  ftc1anclem8  37414  ftc1anc  37415  dvgrat  44023  radcnvrat  44025  sineq0ALT  44650  constlimc  45281  0cnv  45399