Theorem absmul 15256

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 15104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	cjcld 15158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4	cjcld 15158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 4, 5, 6	mul4d 11358	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
9	8	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))))
10		cjmulrcl 15106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15108	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13		cjmulrcl 15106	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		cjmulge0 15108	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))
15	13, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵))))
16		sqrtmul 15221	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) ∧ ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
17	12, 15, 16	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
18	9, 17	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
19		mulcl 11122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20		absval 15200	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
22		absval 15200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
23		absval 15200	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵))))
24	22, 23	oveqan12d 7386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11180  ∗ccj 15058  √csqrt 15195  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  absdiv  15257  absexp  15266  absimle  15271  abstri  15293  absmuli  15367  absmuld  15419  ef01bndlem  16151  absmulgcd  16518  absabv  21404  iblabs  25796  pige3ALT  26484  atantayl  26901  efrlim  26933  lgslem3  27262  mul2sq  27382  cnnv  30748  bcsiALT  31250  nmcfnexi  32122  iblabsnc  38005  iblmulc2nc  38006  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  modlt0b  47817