Theorem absmul 15240

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 15088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))
3		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	cjcld 15142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4	cjcld 15142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 4, 5, 6	mul4d 11425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
9	8	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))))
10		cjmulrcl 15090	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15092	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13		cjmulrcl 15090	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		cjmulge0 15092	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))
15	13, 14	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵))))
16		sqrtmul 15205	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) ∧ ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
17	12, 15, 16	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
18	9, 17	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
19		mulcl 11193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20		absval 15184	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
22		absval 15184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
23		absval 15184	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵))))
24	22, 23	oveqan12d 7427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   ≤ cle 11248  ∗ccj 15042  √csqrt 15179  abscabs 15180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182

This theorem is referenced by:  absdiv  15241  absexp  15250  absimle  15255  abstri  15276  absmuli  15350  absmuld  15400  ef01bndlem  16126  absmulgcd  16490  absabv  21001  iblabs  25345  pige3ALT  26028  atantayl  26439  efrlim  26471  lgslem3  26799  mul2sq  26919  cnnv  29925  bcsiALT  30427  nmcfnexi  31299  iblabsnc  36547  iblmulc2nc  36548  ftc1anclem6  36561  ftc1anclem7  36562  ftc1anclem8  36563