MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmul 15281
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem absmul
StepHypRef Expression
1 cjmul 15129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7442 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53cjcld 15183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
64cjcld 15183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 4, 5, 6mul4d 11464 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
82, 7eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
98fveq2d 6906 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
10 cjmulrcl 15131 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
11 cjmulge0 15133 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
1210, 11jca 510 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
13 cjmulrcl 15131 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
14 cjmulge0 15133 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
1513, 14jca 510 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
16 sqrtmul 15246 . . . 4 ((((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆง ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
1712, 15, 16syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
189, 17eqtrd 2768 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
19 mulcl 11230 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 absval 15225 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
2119, 20syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
22 absval 15225 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
23 absval 15225 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
2422, 23oveqan12d 7445 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287  โˆ—ccj 15083  โˆšcsqrt 15220  abscabs 15221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223
This theorem is referenced by:  absdiv  15282  absexp  15291  absimle  15296  abstri  15317  absmuli  15391  absmuld  15441  ef01bndlem  16168  absmulgcd  16532  absabv  21364  iblabs  25778  pige3ALT  26474  atantayl  26889  efrlim  26921  efrlimOLD  26922  lgslem3  27252  mul2sq  27372  cnnv  30507  bcsiALT  31009  nmcfnexi  31881  iblabsnc  37190  iblmulc2nc  37191  ftc1anclem6  37204  ftc1anclem7  37205  ftc1anclem8  37206
  Copyright terms: Public domain W3C validator