MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmul 15180
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem absmul
StepHypRef Expression
1 cjmul 15028 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53cjcld 15082 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
64cjcld 15082 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 4, 5, 6mul4d 11368 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
82, 7eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
98fveq2d 6847 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
10 cjmulrcl 15030 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
11 cjmulge0 15032 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
1210, 11jca 513 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
13 cjmulrcl 15030 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
14 cjmulge0 15032 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
1513, 14jca 513 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
16 sqrtmul 15145 . . . 4 ((((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆง ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
1712, 15, 16syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
189, 17eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
19 mulcl 11136 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 absval 15124 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
2119, 20syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
22 absval 15124 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
23 absval 15124 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
2422, 23oveqan12d 7377 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2787 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   โ‰ค cle 11191  โˆ—ccj 14982  โˆšcsqrt 15119  abscabs 15120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  absdiv  15181  absexp  15190  absimle  15195  abstri  15216  absmuli  15290  absmuld  15340  ef01bndlem  16067  absmulgcd  16431  absabv  20857  iblabs  25196  pige3ALT  25879  atantayl  26290  efrlim  26322  lgslem3  26650  mul2sq  26770  cnnv  29622  bcsiALT  30124  nmcfnexi  30996  iblabsnc  36145  iblmulc2nc  36146  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator