MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmul 15245
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem absmul
StepHypRef Expression
1 cjmul 15093 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7420 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
53cjcld 15147 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
64cjcld 15147 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 4, 5, 6mul4d 11427 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
82, 7eqtrd 2766 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
98fveq2d 6888 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
10 cjmulrcl 15095 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
11 cjmulge0 15097 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
1210, 11jca 511 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
13 cjmulrcl 15095 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
14 cjmulge0 15097 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
1513, 14jca 511 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
16 sqrtmul 15210 . . . 4 ((((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆง ((๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
1712, 15, 16syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) ยท (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
189, 17eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
19 mulcl 11193 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 absval 15189 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
2119, 20syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โˆšโ€˜((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
22 absval 15189 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
23 absval 15189 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
2422, 23oveqan12d 7423 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)) = ((โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) ยท (โˆšโ€˜(๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250  โˆ—ccj 15047  โˆšcsqrt 15184  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  absdiv  15246  absexp  15255  absimle  15260  abstri  15281  absmuli  15355  absmuld  15405  ef01bndlem  16132  absmulgcd  16496  absabv  21314  iblabs  25709  pige3ALT  26405  atantayl  26820  efrlim  26852  efrlimOLD  26853  lgslem3  27183  mul2sq  27303  cnnv  30435  bcsiALT  30937  nmcfnexi  31809  iblabsnc  37063  iblmulc2nc  37064  ftc1anclem6  37077  ftc1anclem7  37078  ftc1anclem8  37079
  Copyright terms: Public domain W3C validator