Theorem absmul 15493

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 15341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	cjcld 15395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4	cjcld 15395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 4, 5, 6	mul4d 11552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
9	8	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))))
10		cjmulrcl 15343	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15345	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13		cjmulrcl 15343	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		cjmulge0 15345	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))
15	13, 14	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵))))
16		sqrtmul 15458	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) ∧ ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
17	12, 15, 16	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
18	9, 17	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
19		mulcl 11314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20		absval 15437	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
22		absval 15437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
23		absval 15437	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵))))
24	22, 23	oveqan12d 7465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230   · cmul 11235   ≤ cle 11374  ∗ccj 15295  √csqrt 15432  abscabs 15433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435

This theorem is used by:  absdiv  15494  absexp  15503  absimle  15508  abstri  15530  absmuli  15604  absmuld  15656  ef01bndlem  16384  absmulgcd  16754  absabv  21763  iblabs  26182  pige3ALT  26881  atantayl  27298  efrlim  27330  lgslem3  27659  mul2sq  27779  cnnv  31312  bcsiALT  31814  nmcfnexi  32686  iblabsnc  38807  iblmulc2nc  38808  ftc1anclem6  38821  ftc1anclem7  38822  ftc1anclem8  38823  modlt0b  48654