Theorem cphabscl 23781

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphabscl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsubrg 23776	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 20541	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 19528	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
7	6	sselda 3965	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		absval 14589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
10		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
11	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
13	1, 2	cphcjcl 23779	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
14		cnfldmul 20543	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
15	14	subrgmcl 19539	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (∗‘𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
17	7	cjmulrcld 14557	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7	cjmulge0d 14559	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
19	1, 2	cphsqrtcl 23780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
20	10, 16, 17, 18, 19	syl13anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
21	9, 20	eqeltrd 2911	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534   ≤ cle 10668  ∗ccj 14447  √csqrt 14584  abscabs 14585  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  SubRingcsubrg 19523  ℂ_fldccnfld 20537  ℂPreHilccph 23762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-staf 19608  df-srng 19609  df-lvec 19867  df-cnfld 20538  df-phl 20762  df-cph 23764

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  23782