MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphabscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphabscl 23937
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphabscl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphabscl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cphsca.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cphsubrg 23932 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 cnfldbas 20221 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
54subrgss 19655 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
76sselda 3877 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 absval 14687 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
97, 8syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
10 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
113adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
131, 2cphcjcl 23935 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
14 cnfldmul 20223 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
1514subrgmcl 19666 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (∗‘𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
177cjmulrcld 14655 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
187cjmulge0d 14657 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
191, 2cphsqrtcl 23936 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
2010, 16, 17, 18, 19syl13anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
219, 20eqeltrd 2833 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615   · cmul 10620  cle 10754  ccj 14545  csqrt 14682  abscabs 14683  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671  SubRingcsubrg 19650  fldccnfld 20217  ℂPreHilccph 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ico 12827  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-rnghom 19589  df-drng 19623  df-subrg 19652  df-staf 19735  df-srng 19736  df-lvec 19994  df-cnfld 20218  df-phl 20442  df-cph 23920
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  23938
  Copyright terms: Public domain W3C validator