Theorem cphabscl 25325

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphabscl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsubrg 25320	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 21507	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 20658	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
7	6	sselda 3938	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		absval 15291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
10		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
11	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
13	1, 2	cphcjcl 25323	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
14		cnfldmul 21511	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
15	14	subrgmcl 20670	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (∗‘𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
17	7	cjmulrcld 15259	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7	cjmulge0d 15261	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
19	1, 2	cphsqrtcl 25324	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
20	10, 16, 17, 18, 19	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
21	9, 20	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245  ∗ccj 15149  √csqrt 15286  abscabs 15287  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314  SubRingcsubrg 20655  ℂ_fldccnfld 21503  ℂPreHilccph 25306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-staf 20923  df-srng 20924  df-lvec 21205  df-cnfld 21504  df-phl 21757  df-cph 25308

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  25326