Theorem cphabscl 25413

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphabscl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsubrg 25408	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		cnfldbas 21589	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	subrgss 20734	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
7	6	sselda 3931	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		absval 15325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
10		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
11	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
13	1, 2	cphcjcl 25411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
14		cnfldmul 21593	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
15	14	subrgmcl 20746	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (∗‘𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾)
17	7	cjmulrcld 15293	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7	cjmulge0d 15295	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
19	1, 2	cphsqrtcl 25412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
20	10, 16, 17, 18, 19	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ 𝐾)
21	9, 20	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124   · cmul 11129   ≤ cle 11268  ∗ccj 15183  √csqrt 15320  abscabs 15321  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345  SubRingcsubrg 20731  ℂ_fldccnfld 21585  ℂPreHilccph 25394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-staf 21005  df-srng 21006  df-lvec 21287  df-cnfld 21586  df-phl 21839  df-cph 25396

This theorem is used by:  cphsqrtcl2  25414