Theorem absge0 15239

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by NM, 20-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absge0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmulrcl 15096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
2		cjmulge0 15098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3		sqrtge0 15209	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5		absval 15190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
6	4, 5	breqtrrd 5176	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114   · cmul 11119   ≤ cle 11254  ∗ccj 15048  √csqrt 15185  abscabs 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188

This theorem is referenced by:  absreim  15245  leabs  15251  sqabs  15259  nn0abscl  15264  lenegsq  15272  absidm  15275  absgt0  15276  abstri  15282  sqreulem  15311  sqreu  15312  absge0i  15348  absge0d  15396  mulcn2  15545  geomulcvg  15827  efcllem  16026  cnbl0  24511  cnblcld  24512  iblmulc2  25581  bddmulibl  25589  abelth  26190  bndatandm  26671  efrlim  26711  lgslem3  27039  smcnlem  30218  nmophmi  31552  sqrtcval  42695