Theorem absge0 15008

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by NM, 20-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absge0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmulrcl 14864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
2		cjmulge0 14866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3		sqrtge0 14978	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5		absval 14958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
6	4, 5	breqtrrd 5103	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880   · cmul 10885   ≤ cle 11019  ∗ccj 14816  √csqrt 14953  abscabs 14954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956

This theorem is referenced by:  absreim  15014  leabs  15020  sqabs  15028  nn0abscl  15033  lenegsq  15041  absidm  15044  absgt0  15045  abstri  15051  sqreulem  15080  sqreu  15081  absge0i  15117  absge0d  15165  mulcn2  15314  geomulcvg  15597  efcllem  15796  cnbl0  23946  cnblcld  23947  iblmulc2  25004  bddmulibl  25012  abelth  25609  bndatandm  26088  efrlim  26128  lgslem3  26456  smcnlem  29068  nmophmi  30402  sqrtcval  41256