MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem2 25184
Description: Lemma for tcphcph 25185: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
tcphcphlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
tcphcphlem2.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 25180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
83, 7clmsscn 25026 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
119, 10sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1211cjmulrcld 15193 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 15195 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 25181 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
18 oveq12 7435 . . . . . 6 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
1918anidms 565 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
2019breq2d 5164 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2221ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2320, 22, 14rspcdva 3612 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 15411 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
25 phllmod 21569 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
282, 3, 27, 7lmodvscl 20768 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
30 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
31 eqid 2728 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 21585 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
343clmmul 25022 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
356, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
3635oveqd 7443 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 21584 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
3936, 38eqtr4d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ))
403clmcj 25023 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
4241fveq1d 6904 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
4335, 39, 42oveq123d 7447 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
4417recnd 11280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
4511cjcld 15183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) ∈ β„‚)
4611, 44, 45mul32d 11462 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4733, 43, 463eqtr2d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4847fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
49 absval 15225 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5011, 49syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5150oveq1d 7441 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
5224, 48, 513eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287  βˆ—ccj 15083  βˆšcsqrt 15220  abscabs 15221  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  .rcmulr 17241  *π‘Ÿcstv 17242  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  Β·π‘–cip 17245  LModclmod 20750  β„‚fldccnfld 21286  PreHilcphl 21563  β„‚Modcclm 25009  toβ„‚PreHilctcph 25115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-rhm 20418  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lmhm 20914  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-phl 21565  df-clm 25010
This theorem is referenced by:  tcphcph  25185
  Copyright terms: Public domain W3C validator