MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem2 24498
Description: Lemma for tcphcph 24499: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tcphcph.s · = ( ·𝑠𝑊)
tcphcphlem2.3 (𝜑𝑋𝐾)
tcphcphlem2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 24494 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 7clmsscn 24340 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3932 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211cjmulrcld 15008 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 15010 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · (∗‘𝑋)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 24495 . . . 4 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 684 . . 3 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
18 oveq12 7338 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
1918anidms 567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2019breq2d 5101 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
2221ralrimiva 3139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
2320, 22, 14rspcdva 3571 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 15227 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
25 phllmod 20933 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
282, 3, 27, 7lmodvscl 20238 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
31 eqid 2736 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 20949 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑋𝐾)) → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
343clmmul 24336 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
356, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → · = (.r𝐹))
3635oveqd 7346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 20948 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
3936, 38eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌))
403clmcj 24337 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
4241fveq1d 6821 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) = ((*𝑟𝐹)‘𝑋))
4335, 39, 42oveq123d 7350 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
4417recnd 11096 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
4511cjcld 14998 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
4611, 44, 45mul32d 11278 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4733, 43, 463eqtr2d 2782 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4847fveq2d 6823 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))))
49 absval 15040 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5011, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5150oveq1d 7344 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
5224, 48, 513eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3897   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964   · cmul 10969  cle 11103  ccj 14898  csqrt 15035  abscabs 15036  Basecbs 17001  s cress 17030  .rcmulr 17052  *𝑟cstv 17053  Scalarcsca 17054   ·𝑠 cvsca 17055  ·𝑖cip 17056  LModclmod 20221  fldccnfld 20695  PreHilcphl 20927  ℂModcclm 24323  toℂPreHilctcph 24429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-grp 18668  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cmn 19475  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-rnghom 20046  df-drng 20087  df-subrg 20119  df-staf 20203  df-srng 20204  df-lmod 20223  df-lmhm 20382  df-lvec 20463  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-cnfld 20696  df-phl 20929  df-clm 24324
This theorem is referenced by:  tcphcph  24499
  Copyright terms: Public domain W3C validator