MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem2 24623
Description: Lemma for tcphcph 24624: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
tcphcphlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
tcphcphlem2.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 24619 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
83, 7clmsscn 24465 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
119, 10sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1211cjmulrcld 15100 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 15102 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 24620 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
18 oveq12 7370 . . . . . 6 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
1918anidms 568 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
2019breq2d 5121 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2221ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2320, 22, 14rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 15318 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
25 phllmod 21057 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
282, 3, 27, 7lmodvscl 20383 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
30 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
31 eqid 2733 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 21073 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
343clmmul 24461 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
356, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
3635oveqd 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 21072 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
3936, 38eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ))
403clmcj 24462 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
4241fveq1d 6848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
4335, 39, 42oveq123d 7382 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
4417recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
4511cjcld 15090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) ∈ β„‚)
4611, 44, 45mul32d 11373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4733, 43, 463eqtr2d 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4847fveq2d 6850 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
49 absval 15132 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5011, 49syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5150oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
5224, 48, 513eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198  βˆ—ccj 14990  βˆšcsqrt 15127  abscabs 15128  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  .rcmulr 17142  *π‘Ÿcstv 17143  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  LModclmod 20365  β„‚fldccnfld 20819  PreHilcphl 21051  β„‚Modcclm 24448  toβ„‚PreHilctcph 24554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-clm 24449
This theorem is referenced by:  tcphcph  24624
  Copyright terms: Public domain W3C validator