MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem2 24752
Description: Lemma for tcphcph 24753: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
tcphcphlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
tcphcphlem2.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 24748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
83, 7clmsscn 24594 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
119, 10sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1211cjmulrcld 15152 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 15154 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 24749 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
18 oveq12 7417 . . . . . 6 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
1918anidms 567 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
2019breq2d 5160 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2221ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2320, 22, 14rspcdva 3613 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 15370 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
25 phllmod 21182 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
282, 3, 27, 7lmodvscl 20488 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
30 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
31 eqid 2732 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 21198 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
343clmmul 24590 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
356, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
3635oveqd 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 21197 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
3936, 38eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ))
403clmcj 24591 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
4241fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
4335, 39, 42oveq123d 7429 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
4417recnd 11241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
4511cjcld 15142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) ∈ β„‚)
4611, 44, 45mul32d 11423 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4733, 43, 463eqtr2d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4847fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
49 absval 15184 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5011, 49syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5150oveq1d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
5224, 48, 513eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114   ≀ cle 11248  βˆ—ccj 15042  βˆšcsqrt 15179  abscabs 15180  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  .rcmulr 17197  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Β·π‘–cip 17201  LModclmod 20470  β„‚fldccnfld 20943  PreHilcphl 21176  β„‚Modcclm 24577  toβ„‚PreHilctcph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-phl 21178  df-clm 24578
This theorem is referenced by:  tcphcph  24753
  Copyright terms: Public domain W3C validator