MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tcphcphlem2 25119
Description: Lemma for tcphcph 25120: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
tcphcph.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
tcphcphlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
tcphcphlem2.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 25115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
83, 7clmsscn 24961 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
119, 10sseldd 3978 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1211cjmulrcld 15159 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 15161 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 25116 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 684 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
18 oveq12 7414 . . . . . 6 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
1918anidms 566 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
2019breq2d 5153 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2221ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
2320, 22, 14rspcdva 3607 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 15377 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
25 phllmod 21523 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
282, 3, 27, 7lmodvscl 20724 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
30 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
31 eqid 2726 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 21539 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
343clmmul 24957 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
356, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΉ))
3635oveqd 7422 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 21538 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , π‘Œ)))
3936, 38eqtr4d 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ))
403clmcj 24958 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
4241fveq1d 6887 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) = ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
4335, 39, 42oveq123d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = (((𝑋 Β· π‘Œ) , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜π‘‹)))
4417recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
4511cjcld 15149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‹) ∈ β„‚)
4611, 44, 45mul32d 11428 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œ , π‘Œ)) Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4733, 43, 463eqtr2d 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ)) = ((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
4847fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = (βˆšβ€˜((𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹)) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
49 absval 15191 . . . 4 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5011, 49syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))))
5150oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆšβ€˜(𝑋 Β· (βˆ—β€˜π‘‹))) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
5224, 48, 513eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜((𝑋 Β· π‘Œ) , (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  βˆ—ccj 15049  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  *π‘Ÿcstv 17208  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Β·π‘–cip 17211  LModclmod 20706  β„‚fldccnfld 21240  PreHilcphl 21517  β„‚Modcclm 24944  toβ„‚PreHilctcph 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-rhm 20374  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-clm 24945
This theorem is referenced by:  tcphcph  25120
  Copyright terms: Public domain W3C validator