Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcphlem2 23405
 Description: Lemma for tcphcph 23406: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tcphcph.s · = ( ·𝑠𝑊)
tcphcphlem2.3 (𝜑𝑋𝐾)
tcphcphlem2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tcphcphlem2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcphlem2
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 tcphcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 tcphcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 tcphcph.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5phclm 23401 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
7 tcphcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 7clmsscn 23249 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
10 tcphcphlem2.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3829 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211cjmulrcld 14324 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 14326 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · (∗‘𝑋)))
14 tcphcphlem2.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
15 tcphcph.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
161, 2, 3, 4, 5, 15tcphcphlem3 23402 . . . 4 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 680 . . 3 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
18 oveq12 6915 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
1918anidms 564 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2019breq2d 4886 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
21 tcphcph.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
2221ralrimiva 3176 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
2320, 22, 14rspcdva 3533 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
2412, 13, 17, 23sqrtmuld 14541 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
25 phllmod 20338 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
264, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
27 tcphcph.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
282, 3, 27, 7lmodvscl 19237 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
2926, 10, 14, 28syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30 eqid 2826 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
31 eqid 2826 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
323, 15, 2, 7, 27, 30, 31ipassr 20354 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑋𝐾)) → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
334, 29, 14, 10, 32syl13anc 1497 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
343clmmul 23245 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
356, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → · = (.r𝐹))
3635oveqd 6923 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
373, 15, 2, 7, 27, 30ipass 20353 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
384, 10, 14, 14, 37syl13anc 1497 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
3936, 38eqtr4d 2865 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌))
403clmcj 23246 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
416, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
4241fveq1d 6436 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) = ((*𝑟𝐹)‘𝑋))
4335, 39, 42oveq123d 6927 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
4417recnd 10386 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
4511cjcld 14314 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
4611, 44, 45mul32d 10566 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4733, 43, 463eqtr2d 2868 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4847fveq2d 6438 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))))
49 absval 14356 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5011, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5150oveq1d 6921 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
5224, 48, 513eqtr4d 2872 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253   · cmul 10258   ≤ cle 10393  ∗ccj 14214  √csqrt 14351  abscabs 14352  Basecbs 16223   ↾s cress 16224  .rcmulr 16307  *𝑟cstv 16308  Scalarcsca 16309   ·𝑠 cvsca 16310  ·𝑖cip 16311  LModclmod 19220  ℂfldccnfld 20107  PreHilcphl 20332  ℂModcclm 23232  toℂPreHilctcph 23337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-grp 17780  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-rnghom 19072  df-drng 19106  df-subrg 19135  df-staf 19202  df-srng 19203  df-lmod 19222  df-lmhm 19382  df-lvec 19463  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-cnfld 20108  df-phl 20334  df-clm 23233 This theorem is referenced by:  tcphcph  23406
 Copyright terms: Public domain W3C validator