Theorem abscj 15318

Description: The absolute value of a number and its conjugate are the same. Proposition 10-3.7(b) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
abscj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem abscj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		absval 15277	. . . 4 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
4		mulcom 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
5	1, 4	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
6		cjcj 15179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
7	6	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
8	5, 7	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
9	8	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
10	3, 9	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
11		absval 15277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	10, 11	eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  ∗ccj 15135  √csqrt 15272  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  abstri  15369  abs1m  15374  abscji  15440  abscjd  15489