Theorem absi 15479

Description: The absolute value of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absi	⊢ (abs‘i) = 1

Proof of Theorem absi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11283	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		absval 15431	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i)))
4		cji 15352	. . . . 5 ⊢ (∗‘i) = -i
5	4	oveq2i 7451	. . . 4 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6	1, 1	mulneg2i 11787	. . . 4 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
7		ixi 11969	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
8	7	negeqi 11574	. . . . 5 ⊢ -(i · i) = - -1
9		negneg1e1 12333	. . . . 5 ⊢ - -1 = 1
10	8, 9	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ -(i · i) = 1
11	5, 6, 10	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
12	11	fveq2i 6908	. 2 ⊢ (√‘(i · (∗‘i))) = (√‘1)
13		sqrt1 15464	. 2 ⊢ (√‘1) = 1
14	3, 12, 13	3eqtri 2790	1 ⊢ (abs‘i) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225  ici 11226   · cmul 11229   -cneg 11566  ∗ccj 15289  √csqrt 15426  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429

This theorem is used by:  absimle  15502  abs1m  15529  ef01bndlem  16378  ncvspi  25504  iblabs  26176  iblabsr  26177  iblmulc2  26178  pige3ALT  26875  abslogle  26973  atantayl  27292  log2cnv  27299  nvpi  31296  iconstr  34465  constrremulcl  34466  constrimcl  34469  constrmulcl  34470  iblabsnc  38793  iblmulc2nc  38794  ftc1anclem6  38807  ftc1anclem7  38808  ftc1anclem8  38809