Theorem absi 15230

Description: The absolute value of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absi	⊢ (abs‘i) = 1

Proof of Theorem absi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11166	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		absval 15182	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i)))
4		cji 15103	. . . . 5 ⊢ (∗‘i) = -i
5	4	oveq2i 7417	. . . 4 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6	1, 1	mulneg2i 11658	. . . 4 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
7		ixi 11840	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
8	7	negeqi 11450	. . . . 5 ⊢ -(i · i) = --1
9		negneg1e1 12327	. . . . 5 ⊢ --1 = 1
10	8, 9	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ -(i · i) = 1
11	5, 6, 10	3eqtri 2765	. . 3 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
12	11	fveq2i 6892	. 2 ⊢ (√‘(i · (∗‘i))) = (√‘1)
13		sqrt1 15215	. 2 ⊢ (√‘1) = 1
14	3, 12, 13	3eqtri 2765	1 ⊢ (abs‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  1c1 11108  ici 11109   · cmul 11112  -cneg 11442  ∗ccj 15040  √csqrt 15177  abscabs 15178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180

This theorem is referenced by:  absimle  15253  abs1m  15279  ef01bndlem  16124  ncvspi  24665  iblabs  25338  iblabsr  25339  iblmulc2  25340  pige3ALT  26021  abslogle  26118  atantayl  26432  log2cnv  26439  nvpi  29908  iblabsnc  36541  iblmulc2nc  36542  ftc1anclem6  36555  ftc1anclem7  36556  ftc1anclem8  36557