Theorem absi 15294

Description: The absolute value of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absi	⊢ (abs‘i) = 1

Proof of Theorem absi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11127	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
2		absval 15246	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (abs‘i) = (√‘(i · (∗‘i)))
4		cji 15167	. . . . 5 ⊢ (∗‘i) = -i
5	4	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6	1, 1	mulneg2i 11629	. . . 4 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
7		ixi 11811	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
8	7	negeqi 11418	. . . . 5 ⊢ -(i · i) = --1
9		negneg1e1 12179	. . . . 5 ⊢ --1 = 1
10	8, 9	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ -(i · i) = 1
11	5, 6, 10	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
12	11	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (√‘(i · (∗‘i))) = (√‘1)
13		sqrt1 15279	. 2 ⊢ (√‘1) = 1
14	3, 12, 13	3eqtri 2788	1 ⊢ (abs‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11066  1c1 11069  ici 11070   · cmul 11073  -cneg 11410  ∗ccj 15104  √csqrt 15241  abscabs 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9383  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-rp 12989  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244

This theorem is referenced by:  absimle  15317  abs1m  15344  ef01bndlem  16197  ncvspi  25196  iblabs  25869  iblabsr  25870  iblmulc2  25871  pige3ALT  26560  abslogle  26658  atantayl  26977  log2cnv  26984  nvpi  30814  iconstr  34022  constrremulcl  34023  constrimcl  34026  constrmulcl  34027  iblabsnc  38136  iblmulc2nc  38137  ftc1anclem6  38150  ftc1anclem7  38151  ftc1anclem8  38152