Theorem absid 15252

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absid	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absval 15194	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5	1	cjred 15182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
7	2	sqvald 14099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
8	6, 7	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴↑2))
9	8	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘(𝐴↑2)))
10		sqrtsq 15225	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
11	4, 9, 10	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032   · cmul 11037   ≤ cle 11174  2c2 12230  ↑cexp 14017  ∗ccj 15052  √csqrt 15189  abscabs 15190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192

This theorem is referenced by:  abs1  15253  absnid  15254  leabs  15255  absor  15256  sqabs  15263  max0add  15266  absidm  15280  abssubge0  15284  fzomaxdiflem  15299  absidi  15334  absidd  15379  o1fsum  15770  geo2lim  15834  geoihalfsum  15841  ege2le3  16049  eirrlem  16165  rpnnen2lem3  16177  rpnnen2lem9  16183  6gcd4e2  16501  lcmgcdnn  16574  lcmfun  16608  lcmfass  16609  zringndrg  21461  ncvsge0  25133  iscmet3lem3  25270  minveclem2  25406  mbfi1fseqlem6  25700  dvfsumrlim  26011  aaliou3lem3  26324  pserulm  26403  pige3ALT  26500  efif1olem4  26525  cxpcn3lem  26727  log2cnv  26924  log2tlbnd  26925  cxplim  26952  cxploglim2  26959  divsqrtsumo1  26964  fsumharmonic  26992  zetacvg  26995  logfacrlim  27204  logexprlim  27205  dchrmusum2  27474  dchrvmasumlem3  27479  dchrisum0lem1  27496  dchrisum0lem2a  27497  dchrisum0lem2  27498  mudivsum  27510  mulogsumlem  27511  log2sumbnd  27524  selberglem2  27526  selberg3lem1  27537  pntpbnd2  27567  pntibndlem2  27571  pntlemn  27580  pntlemj  27583  pntlemo  27587  ex-abs  30543  ex-gcd  30545  nvsge0  30753  nmoub2i  30863  minvecolem2  30964  iconstr  33929  subfacval3  35390  knoppndvlem14  36804  poimir  37991  ftc1anclem5  38035  lcm2un  42470  rpabsid  42770  oddcomabszz  43393  reabsifneg  44080  reabsifnpos  44081  reabsifpos  44082  reabsifnneg  44083  fourierdlem68  46623  itsclc0yqsol  49255