MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absid 14648
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 absval 14589 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
51cjred 14577 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
65oveq2d 7151 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
72sqvald 13503 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
86, 7eqtr4d 2836 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴↑2))
98fveq2d 6649 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘(𝐴↑2)))
10 sqrtsq 14621 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
114, 9, 103eqtrd 2837 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  cle 10665  2c2 11680  cexp 13425  ccj 14447  csqrt 14584  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  abs1  14649  absnid  14650  leabs  14651  absor  14652  sqabs  14659  max0add  14662  absidm  14675  abssubge0  14679  fzomaxdiflem  14694  absidi  14729  absidd  14774  o1fsum  15160  geo2lim  15223  geoihalfsum  15230  ege2le3  15435  eirrlem  15549  rpnnen2lem3  15561  rpnnen2lem9  15567  6gcd4e2  15876  lcmgcdnn  15945  lcmfun  15979  lcmfass  15980  zringndrg  20183  ncvsge0  23758  iscmet3lem3  23894  minveclem2  24030  mbfi1fseqlem6  24324  dvfsumrlim  24634  aaliou3lem3  24940  pserulm  25017  pige3ALT  25112  efif1olem4  25137  cxpcn3lem  25336  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  cxplim  25557  cxploglim2  25564  divsqrtsumo1  25569  fsumharmonic  25597  zetacvg  25600  logfacrlim  25808  logexprlim  25809  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem3  26083  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  log2sumbnd  26128  selberglem2  26130  selberg3lem1  26141  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemn  26184  pntlemj  26187  pntlemo  26191  ex-abs  28240  ex-gcd  28242  nvsge0  28447  nmoub2i  28557  minvecolem2  28658  subfacval3  32546  knoppndvlem14  33974  poimir  35087  ftc1anclem5  35131  lcm2un  39299  oddcomabszz  39880  reabsifneg  40327  reabsifnpos  40328  reabsifpos  40329  reabsifnneg  40330  fourierdlem68  42811  itsclc0yqsol  45173
  Copyright terms: Public domain W3C validator