Theorem absid 15272

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absid	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absval 15214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5	1	cjred 15202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 7410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
7	2	sqvald 14118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
8	6, 7	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴↑2))
9	8	fveq2d 6869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘(𝐴↑2)))
10		sqrtsq 15245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
11	4, 9, 10	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ℂcc 11084  ℝcr 11085  0cc0 11086   · cmul 11091   ≤ cle 11227  2c2 12252  ↑cexp 14036  ∗ccj 15072  √csqrt 15209  abscabs 15210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-seq 13977  df-exp 14037  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212

This theorem is referenced by:  abs1  15273  absnid  15274  leabs  15275  absor  15276  sqabs  15283  max0add  15286  absidm  15299  abssubge0  15303  fzomaxdiflem  15318  absidi  15353  absidd  15398  o1fsum  15786  geo2lim  15848  geoihalfsum  15855  ege2le3  16063  eirrlem  16179  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem9  16197  6gcd4e2  16514  lcmgcdnn  16587  lcmfun  16621  lcmfass  16622  zringndrg  21384  ncvsge0  25060  iscmet3lem3  25197  minveclem2  25333  mbfi1fseqlem6  25628  dvfsumrlim  25945  aaliou3lem3  26259  pserulm  26338  pige3ALT  26436  efif1olem4  26461  cxpcn3lem  26664  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  cxplim  26889  cxploglim2  26896  divsqrtsumo1  26901  fsumharmonic  26929  zetacvg  26932  logfacrlim  27142  logexprlim  27143  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem3  27417  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  log2sumbnd  27462  selberglem2  27464  selberg3lem1  27475  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemn  27518  pntlemj  27521  pntlemo  27525  ex-abs  30391  ex-gcd  30393  nvsge0  30600  nmoub2i  30710  minvecolem2  30811  iconstr  33764  subfacval3  35178  knoppndvlem14  36510  poimir  37644  ftc1anclem5  37688  lcm2un  41994  rpabsid  42301  oddcomabszz  42905  reabsifneg  43593  reabsifnpos  43594  reabsifpos  43595  reabsifnneg  43596  fourierdlem68  46145  itsclc0yqsol  48686