![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > absid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
absid | โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 483 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11238 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
3 | absval 15181 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) |
5 | 1 | cjred 15169 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ๐ด) = ๐ด) |
6 | 5 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด ยท (โโ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)) |
7 | 2 | sqvald 14104 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
8 | 6, 7 | eqtr4d 2775 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด ยท (โโ๐ด)) = (๐ดโ2)) |
9 | 8 | fveq2d 6892 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด))) = (โโ(๐ดโ2))) |
10 | sqrtsq 15212 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ(๐ดโ2)) = ๐ด) | |
11 | 4, 9, 10 | 3eqtrd 2776 | 1 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 class class class wbr 5147 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โcc 11104 โcr 11105 0cc0 11106 ยท cmul 11111 โค cle 11245 2c2 12263 โcexp 14023 โccj 15039 โcsqrt 15176 abscabs 15177 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-seq 13963 df-exp 14024 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 |
This theorem is referenced by: abs1 15240 absnid 15241 leabs 15242 absor 15243 sqabs 15250 max0add 15253 absidm 15266 abssubge0 15270 fzomaxdiflem 15285 absidi 15320 absidd 15365 o1fsum 15755 geo2lim 15817 geoihalfsum 15824 ege2le3 16029 eirrlem 16143 rpnnen2lem3 16155 rpnnen2lem9 16161 6gcd4e2 16476 lcmgcdnn 16544 lcmfun 16578 lcmfass 16579 zringndrg 21029 ncvsge0 24661 iscmet3lem3 24798 minveclem2 24934 mbfi1fseqlem6 25229 dvfsumrlim 25539 aaliou3lem3 25848 pserulm 25925 pige3ALT 26020 efif1olem4 26045 cxpcn3lem 26244 log2cnv 26438 log2tlbnd 26439 cxplim 26465 cxploglim2 26472 divsqrtsumo1 26477 fsumharmonic 26505 zetacvg 26508 logfacrlim 26716 logexprlim 26717 dchrmusum2 26986 dchrvmasumlem3 26991 dchrisum0lem1 27008 dchrisum0lem2a 27009 dchrisum0lem2 27010 mudivsum 27022 mulogsumlem 27023 log2sumbnd 27036 selberglem2 27038 selberg3lem1 27049 pntpbnd2 27079 pntibndlem2 27083 pntlemn 27092 pntlemj 27095 pntlemo 27099 ex-abs 29697 ex-gcd 29699 nvsge0 29904 nmoub2i 30014 minvecolem2 30115 subfacval3 34168 knoppndvlem14 35389 poimir 36509 ftc1anclem5 36553 lcm2un 40867 oddcomabszz 41668 reabsifneg 42368 reabsifnpos 42369 reabsifpos 42370 reabsifnneg 42371 fourierdlem68 44876 itsclc0yqsol 47403 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |