![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > absid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
absid | โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11241 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
3 | absval 15187 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) |
5 | 1 | cjred 15175 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ๐ด) = ๐ด) |
6 | 5 | oveq2d 7418 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด ยท (โโ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)) |
7 | 2 | sqvald 14109 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
8 | 6, 7 | eqtr4d 2767 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด ยท (โโ๐ด)) = (๐ดโ2)) |
9 | 8 | fveq2d 6886 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด))) = (โโ(๐ดโ2))) |
10 | sqrtsq 15218 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ(๐ดโ2)) = ๐ด) | |
11 | 4, 9, 10 | 3eqtrd 2768 | 1 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (absโ๐ด) = ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5139 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โcc 11105 โcr 11106 0cc0 11107 ยท cmul 11112 โค cle 11248 2c2 12266 โcexp 14028 โccj 15045 โcsqrt 15182 abscabs 15183 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-sup 9434 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12976 df-seq 13968 df-exp 14029 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 |
This theorem is referenced by: abs1 15246 absnid 15247 leabs 15248 absor 15249 sqabs 15256 max0add 15259 absidm 15272 abssubge0 15276 fzomaxdiflem 15291 absidi 15326 absidd 15371 o1fsum 15761 geo2lim 15823 geoihalfsum 15830 ege2le3 16036 eirrlem 16150 rpnnen2lem3 16162 rpnnen2lem9 16168 6gcd4e2 16483 lcmgcdnn 16551 lcmfun 16585 lcmfass 16586 zringndrg 21344 ncvsge0 25025 iscmet3lem3 25162 minveclem2 25298 mbfi1fseqlem6 25594 dvfsumrlim 25910 aaliou3lem3 26222 pserulm 26299 pige3ALT 26395 efif1olem4 26420 cxpcn3lem 26623 log2cnv 26817 log2tlbnd 26818 cxplim 26845 cxploglim2 26852 divsqrtsumo1 26857 fsumharmonic 26885 zetacvg 26888 logfacrlim 27098 logexprlim 27099 dchrmusum2 27368 dchrvmasumlem3 27373 dchrisum0lem1 27390 dchrisum0lem2a 27391 dchrisum0lem2 27392 mudivsum 27404 mulogsumlem 27405 log2sumbnd 27418 selberglem2 27420 selberg3lem1 27431 pntpbnd2 27461 pntibndlem2 27465 pntlemn 27474 pntlemj 27477 pntlemo 27481 ex-abs 30203 ex-gcd 30205 nvsge0 30412 nmoub2i 30522 minvecolem2 30623 subfacval3 34698 knoppndvlem14 35902 poimir 37025 ftc1anclem5 37069 lcm2un 41386 oddcomabszz 42235 reabsifneg 42933 reabsifnpos 42934 reabsifpos 42935 reabsifnneg 42936 fourierdlem68 45436 itsclc0yqsol 47699 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |