![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > absneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Absolute value of the negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
absneg | โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (absโ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cjneg 15098 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq2d 7420 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท (โโ-๐ด)) = (-๐ด ยท -(โโ๐ด))) |
3 | cjcl 15056 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
4 | mul2neg 11654 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (-๐ด ยท -(โโ๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) | |
5 | 3, 4 | mpdan 684 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท -(โโ๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) |
6 | 2, 5 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท (โโ-๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) |
7 | 6 | fveq2d 6888 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด))) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) |
8 | negcl 11461 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -๐ด โ โ) | |
9 | absval 15189 | . . 3 โข (-๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด)))) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด)))) |
11 | absval 15189 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) | |
12 | 7, 10, 11 | 3eqtr4d 2776 | 1 โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (absโ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcc 11107 ยท cmul 11114 -cneg 11446 โccj 15047 โcsqrt 15184 abscabs 15185 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-2 12276 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-abs 15187 |
This theorem is referenced by: absnid 15249 absimle 15260 abslt 15265 absle 15266 abssub 15277 abs2dif2 15284 sqreulem 15310 absnegi 15351 absnegd 15400 cnheibor 24832 ftalem3 26958 qqhcn 33501 jm2.26lem3 42299 sqrtcvallem4 42947 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |