MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absneg 14632
Description: Absolute value of the opposite. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absneg (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg
StepHypRef Expression
1 cjneg 14501 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
21oveq2d 7155 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (-𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3 cjcl 14459 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4 mul2neg 11072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
53, 4mpdan 686 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
62, 5eqtrd 2836 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
76fveq2d 6653 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8 negcl 10879 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9 absval 14592 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
108, 9syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
11 absval 14592 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
127, 10, 113eqtr4d 2846 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528   · cmul 10535  -cneg 10864  ccj 14450  csqrt 14587  abscabs 14588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-abs 14590
This theorem is referenced by:  absnid  14653  absimle  14664  abslt  14669  absle  14670  abssub  14681  abs2dif2  14688  sqreulem  14714  absnegi  14755  absnegd  14804  cnheibor  23563  ftalem3  25663  qqhcn  31340  jm2.26lem3  39929  sqrtcvallem4  40326
  Copyright terms: Public domain W3C validator