Theorem absneg 15470

Description: Absolute value of the negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 15340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘ -𝐴) = -(∗‘𝐴))
2	1	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · (∗‘ -𝐴)) = ( -𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3		cjcl 15298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		mul2neg 11779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	2, 5	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · (∗‘ -𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	6	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘( -𝐴 · (∗‘ -𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8		negcl 11581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9		absval 15431	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) = (√‘( -𝐴 · (∗‘ -𝐴))))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) = (√‘( -𝐴 · (∗‘ -𝐴))))
11		absval 15431	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) = (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   · cmul 11229   -cneg 11566  ∗ccj 15289  √csqrt 15426  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-abs 15429

This theorem is used by:  absnid  15491  absimle  15502  abslt  15508  absle  15509  abssub  15520  abs2dif2  15527  sqreulem  15553  absnegi  15594  absnegd  15645  cnheibor  25303  ftalem3  27429  qqhcn  34690  jm2.26lem3  44199  sqrtcvallem4  44829