Theorem absneg 14806

Description: Absolute value of the opposite. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 14675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
2	1	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (-𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3		cjcl 14633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		mul2neg 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	2, 5	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	6	fveq2d 6699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8		negcl 11043	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9		absval 14766	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
11		absval 14766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   · cmul 10699  -cneg 11028  ∗ccj 14624  √csqrt 14761  abscabs 14762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-2 11858  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-abs 14764

This theorem is referenced by:  absnid  14827  absimle  14838  abslt  14843  absle  14844  abssub  14855  abs2dif2  14862  sqreulem  14888  absnegi  14929  absnegd  14978  cnheibor  23806  ftalem3  25911  qqhcn  31607  jm2.26lem3  40467  sqrtcvallem4  40864