Theorem absneg 15397

Description: Absolute value of the negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 15267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
2	1	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (-𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3		cjcl 15225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		mul2neg 11710	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	2, 5	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	6	fveq2d 6878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8		negcl 11514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9		absval 15358	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
11		absval 15358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155   · cmul 11162  -cneg 11499  ∗ccj 15216  √csqrt 15353  abscabs 15354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-abs 15356

This theorem is used by:  absnid  15418  absimle  15429  abslt  15435  absle  15436  abssub  15447  abs2dif2  15454  sqreulem  15480  absnegi  15521  absnegd  15572  cnheibor  25223  ftalem3  27351  qqhcn  34542  jm2.26lem3  43940  sqrtcvallem4  44577