![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > absneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Absolute value of the negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
absneg | โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (absโ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cjneg 15134 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq2d 7442 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท (โโ-๐ด)) = (-๐ด ยท -(โโ๐ด))) |
3 | cjcl 15092 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
4 | mul2neg 11691 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (-๐ด ยท -(โโ๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) | |
5 | 3, 4 | mpdan 685 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท -(โโ๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) |
6 | 2, 5 | eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (-๐ด ยท (โโ-๐ด)) = (๐ด ยท (โโ๐ด))) |
7 | 6 | fveq2d 6906 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด))) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) |
8 | negcl 11498 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -๐ด โ โ) | |
9 | absval 15225 | . . 3 โข (-๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด)))) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (โโ(-๐ด ยท (โโ-๐ด)))) |
11 | absval 15225 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (absโ๐ด) = (โโ(๐ด ยท (โโ๐ด)))) | |
12 | 7, 10, 11 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข (๐ด โ โ โ (absโ-๐ด) = (absโ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โcc 11144 ยท cmul 11151 -cneg 11483 โccj 15083 โcsqrt 15220 abscabs 15221 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-2 12313 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-abs 15223 |
This theorem is referenced by: absnid 15285 absimle 15296 abslt 15301 absle 15302 abssub 15313 abs2dif2 15320 sqreulem 15346 absnegi 15387 absnegd 15436 cnheibor 24901 ftalem3 27027 qqhcn 33625 jm2.26lem3 42453 sqrtcvallem4 43100 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |